Теоретические основы динамики машин

          

Влияние вязкого трения


Общее решение. Основное уравнение вынужденных колебаний с учётом вязкого трения принимает вид

Влияние вязкого трения
                                         (106)

где

Влияние вязкого трения
Влияние вязкого трения

Оно отличается от соответствующего уравнения при свободных колебаниях наличием правой части, а от уравнения вынужденных колебаний системы без трения - наличием второго слагаемого в левой части. Для получения общего решения воспользуемся способом, который применялся выше при решении подобной задачи для n =  0.

Пусть к системе с одной степенью свободы в момент времени

Влияние вязкого трения
 прикладывается мгновенный импульс; последующий колебательный процесс можно описать уравнением

Влияние вязкого трения
                                    (107)

Определим постоянные А и

Влияние вязкого трения
 из условий начала движения: при
Влияние вязкого трения
 должно быть Х=0,
Влияние вязкого трения
 Первое условие даёт

Влияние вязкого трения

Из второго условия найдём

Влияние вязкого трения

где 

Влияние вязкого трения
.

Таким образом, свободные колебания, вызванные импульсом S, описываются законом

Влияние вязкого трения

и носят затухающий характер.

Как и выше, будем рассматривать возмущающую силу

Влияние вязкого трения
 в виде последовательности бесконечно малых импульсов
Влияние вязкого трения
. Тогда общее решение задачи о действии силы F(t) принимает вид

Влияние вязкого трения
,                            (108)

причём закон изменения силы F(t) может быть любым.

Гармоническая возмущающая сила.  В практически важном случае действия гармонической силы

Влияние вязкого трения
 решение  (108) даёт

Влияние вязкого трения
                                         (109)

где

Влияние вязкого трения
                                       (110)

Влияние вязкого трения
                                           (111)

Влияние вязкого трения

Введём, как и выше, динамический коэффициент

Влияние вязкого трения
                                (112)

Динамический коэффициент

Влияние вязкого трения
 не обращается в бесконечность ни при каких значениях частоты возмущения p; этим найденный результат существенно отличается от решения, полученного выше без учёта неупругого сопротивления. Зависимость
Влияние вязкого трения
 от отношения частот
Влияние вязкого трения
 при различных значениях отношения
Влияние вязкого трения
 приведена на рис. 45,a. Максимум динамического коэффициента несколько смещён в сторону от абсциссы
Влияние вязкого трения
 Однако это смещение мало, и можно приближённо определять
Влияние вязкого трения
 подставляя в (112)
Влияние вязкого трения
 т.е.
Влияние вязкого трения
.

Отсюда видно, что максимум динамического коэффициента обратно пропорционален коэффициенту затухания n.
Из графиков (рис.45,a) следует, что силы вязкого сопротивления оказывают заметное влияние только в околорезонансной области. Это позволяет в удалении от резонанса принимать для

Влияние вязкого трения
 кривую, построенную без учёта вязкого сопротивления (рис. 41,a), а во всей околорезонансной области принимать
Влияние вязкого трения
.

Влияние вязкого трения


Рис. 45

Рассмотрим вопрос о "запаздывании" колебаний. Фазовый угол
Влияние вязкого трения
 определяется (111) и зависит от отношения частот
Влияние вязкого трения
  (рис. 45,б).

Как видно, при малых частотах p угол
Влияние вязкого трения
 невелик. При резонансе
Влияние вязкого трения
 фазовый угол равен
Влияние вязкого трения
,  т.е. в те мгновения, когда сила максимальна, перемещение равно нулю. При высоких частотах фазовый угол близок к
Влияние вязкого трения
, т.е. максимуму силы соответствует максимум перемещения.

Действие периодических импульсов. В качестве исходного выражения примем вместо (104) закон свободных затухающих колебаний

Влияние вязкого трения
.                (113)

Дифференцируя, получим выражение скорости

Влияние вязкого трения
.

Начало отсчёта совместим с временем
Влияние вязкого трения
 (рис.44,б). Для мгновения
Влияние вязкого трения
 можно записать

Влияние вязкого трения
;

Влияние вязкого трения
Влияние вязкого трения
.

В мгновение
Влияние вязкого трения
  перемещение и скорость вновь равны 
Влияние вязкого трения
 и
Влияние вязкого трения


Влияние вязкого трения
              (114)

где S- величина импульса.

Из (114) находим

Влияние вязкого трения
                         (115)

Вычислив
Влияние вязкого трения
 и
Влияние вязкого трения
,  можно по  (113) найти решение х.

Особый интерес представляют резонансные режимы, при которых период импульсов T в целое число раз больше собственного периода колебаний
Влияние вязкого трения
. Обозначим это число через
Влияние вязкого трения
.

Влияние вязкого трения
 .

Тогда

Влияние вязкого трения
     
Влияние вязкого трения
,

и по (115) находим

Влияние вязкого трения
;
Влияние вязкого трения
.

При малых значениях
Влияние вязкого трения
 можно считать

Влияние вязкого трения
 т.е.
Влияние вязкого трения
,

и решение имеет вид

Влияние вязкого трения
.

Наибольшее значение (резонансная амплитуда) приблизительно составляет

Влияние вязкого трения
,

т.е. оказывается обратно пропорциональным коэффициенту вязкого сопротивления (как и в случае гармонического возмущения). Коэффициент повторности при резонансе получим, разделив
Влияние вязкого трения
 на амплитуду колебаний, вызванных однократным ударом
Влияние вязкого трения
:

Влияние вязкого трения
,

т.е. с увеличением r (уменьшением частоты импульсов) резонансные амплитуды убывают.


Содержание раздела