Теоретические основы динамики машин

          

Влияние цепных усилий


Ранее продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции опоры. Рассмотрим, например, балку на двух шарнирно-неподвижных опорах. При её изгибе возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки; соответствующее горизонтальное усилие принято называть цепным усилием. Если балка совершает поперечные колебания, то цепное усилие будет изменяться во времени.

Если в мгновение t прогибы балки определяются функцией

Влияние цепных усилий
, то удлинение оси можно найти по формуле

Влияние цепных усилий
.

Соответствующее цепное усилие найдём при помощи закона Гука

Влияние цепных усилий
.

Подставим этот результат в (215) вместо продольной силы N

(с учётом знака)

Влияние цепных усилий
.                           (220)

Полученное нелинейное интегродифференциальное уравнение

упрощается при помощи подстановки

Влияние цепных усилий
,                                           (221)

где

Влияние цепных усилий
безразмерная функция времени, максимальное значение которой можно положить равным любому числу, например, единице;
Влияние цепных усилий
амплитуда колебаний.

Подставляя (221) в (220), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

Влияние цепных усилий
,                                              (222)

коэффициенты которого имеют следующие значения:

Влияние цепных усилий
;   
Влияние цепных усилий
.

Дифференциальное уравнение (222) является нелинейным, следовательно, частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.

Точное решение для

Влияние цепных усилий
 частоты поперечных колебаний
Влияние цепных усилий
 имеет вид

Влияние цепных усилий
,

где

Влияние цепных усилий
частота поперечных колебаний, вычисленная без учёта цепных усилий;
Влияние цепных усилий
поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний
Влияние цепных усилий
 к радиусу инерции поперечного сечения
Влияние цепных усилий
; величина
Влияние цепных усилий
 приводится в справочной литературе.

При соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня круглого сечения равна его диаметру, то

Влияние цепных усилий
, и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного смещения опор.

Случай

Влияние цепных усилий
 соответствует нулевому значению радиуса инерции, когда изгибная жёсткость балки исчезающе мала - струна. При этом формула для
Влияние цепных усилий
 даёт неопределённость. Раскрывая эту неопределённость, получим формулу для частоты колебаний струны

Влияние цепных усилий
.

Эта формула относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях: считают, что перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе колебаний.

При этом формула для частоты имеет вид

Влияние цепных усилий
,

где N - постоянная растягивающая сила.



Содержание раздела