Влияние цепных усилий

Ранее продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции опоры. Рассмотрим, например, балку на двух шарнирно-неподвижных опорах. При её изгибе возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки; соответствующее горизонтальное усилие принято называть цепным усилием. Если балка совершает поперечные колебания, то цепное усилие будет изменяться во времени.

Если в мгновение t прогибы балки определяются функцией

, то удлинение оси можно найти по формуле

Соответствующее цепное усилие найдём при помощи закона Гука

Подставим этот результат в (215) вместо продольной силы N

(с учётом знака)

. (220)

Полученное нелинейное интегродифференциальное уравнение

упрощается при помощи подстановки

, (221)

где

безразмерная функция времени, максимальное значение которой можно положить равным любому числу, например, единице;

амплитуда колебаний.

Подставляя (221) в (220), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

, (222)

коэффициенты которого имеют следующие значения:

;

Дифференциальное уравнение (222) является нелинейным, следовательно, частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.

Точное решение для

частоты поперечных колебаний

имеет вид

где

частота поперечных колебаний, вычисленная без учёта цепных усилий;

поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды колебаний

к радиусу инерции поперечного сечения

; величина

приводится в справочной литературе.

При соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня круглого сечения равна его диаметру, то

, и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного смещения опор.

Случай

соответствует нулевому значению радиуса инерции, когда изгибная жёсткость балки исчезающе мала - струна. При этом формула для

даёт неопределённость. Раскрывая эту неопределённость, получим формулу для частоты колебаний струны

Эта формула относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях: считают, что перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе колебаний.

При этом формула для частоты имеет вид

где N - постоянная растягивающая сила.

Содержание раздела