Вязкое трение
В этом случае возникает сопротивление движению, которое пропорционально его скорости. При этом сила сопротивления описывается выражением

где k- коэффициент пропорциональности.
Примером системы, работающей в условиях вязкого трения, может служить гидравлический амортизатор (рис.15), который создаёт сопротивление движению поршня, зависящее не от перемещения (как это свойственно упругим связям), а от скорости и пропорционально её первой степени (14). Подобные устройства применяются, например, в конструкциях автомобильной подвески. Гидравлический амортизатор состоит из одного или нескольких цилиндров с поршнями или из камеры, в которой может вращаться крыльчатка. Цилиндры и камера наполнены амортизационной жидкостью. При движении поршней или крыльчатки эта жидкость продавливается через калиброванные отверстия; этим создаётся сопротивление, по характеру близкое к вязкому. В формуле (14) R- это сила, действующая на амортизатор, а вязкая реакция амортизатора на колеблющееся тело имеет противоположное направление.

Рис. 15
Дифференциальное уравнение движения в рассматриваемом случае таково:

или

где


Для рассматриваемого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид


Обозначим

Тогда решение уравнения (16) определяется формулой

или

где


Следовательно, при наличии вязкого трения движение груза описывается непериодическим законом (рис. 16).
Тем не менее часто это движение называют периодическими затухающими колебаниями, несмотря на очевидную невозможность совмещения понятий "периодические" и "затухающие".

Рис. 16
Под периодом


Величину

Отношение двух последовательных максимальных отклонений от положения равновесия

Значит, последовательные максимальные отклонения системы от равновесного положения (амплитуды колебаний) представляют собой члены геометрической прогрессии со знаменателем, равным


В металлических конструкциях без специально введенных элементов трения логарифмический декремент составляет обычно от нескольких сотых до десятых долей единицы.
Если колебания затухают медленно и отношение двух последовательных амплитуд


где


Таким образом, при малом затухании логарифмический декремент примерно равен отношению изменения амплитуды колебаний за период


Так как логарифмический декремент колебаний

то

Подставляя значение n2 в формулу для





Из (22) следует, что даже при значительном затухании частота






Определим постоянные интегрирования в решении уравнения затухающих колебаний (17). Обозначим смещение и скорость в начальный момент времени t0=0 через x0 и

x0=C1;

тогда
C1=x0;

и решение уравнения (16) , удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид

Пример 5. Амплитуда собственных колебаний за один период уменьшилась в два раза.Определить логарифмический декремент колебаний и изменение собственной частоты вследствие затухания.
Решение.
Логарифмический декремент колебаний:


откуда

Собственная частота колебаний:

т. е. изменение собственной частоты вследствие затухания составляет 0,6 %.