Теоретические основы динамики машин

             

Отношение двух последовательных максимальных отклонений


Величину
 называют угловой частотой затухающих колебаний.

Отношение двух последовательных максимальных отклонений от положения равновесия

  
.                                               (20)

Значит, последовательные максимальные отклонения системы от равновесного положения (амплитуды колебаний) представляют собой члены геометрической прогрессии со знаменателем, равным
. Чаще рассматривают не отношение двух последовательных амплитуд, а логарифм этого отношения, который называют логарифмическим декрементом колебаний:

  
.                                             (21)

В металлических конструкциях без специально введенных элементов трения логарифмический декремент составляет обычно от нескольких сотых до десятых долей единицы.

Если колебания затухают медленно и отношение двух последовательных амплитуд
 близко к единице, то

,

где

;
.

Таким образом, при малом затухании логарифмический декремент примерно равен отношению изменения амплитуды колебаний за период
 к амплитуде
А.

Так как  логарифмический декремент колебаний

  
,

то

.

Подставляя значение n2 в формулу для
, установим связь между величинами
,
и
:

.                                            (22)

Из (22) следует, что даже при значительном затухании частота
 затухающих колебаний мало отличается от частоты
собственных колебаний соответствующей системы без трения. Например, при сравнительно большом затухании, когда каждый следующий размах вдвое меньше предыдущего (
), частота
 лишь на 0,6 % меньше, чем
. Таким образом, можно считать, что трение практически не влияет на частоту колебаний и
.

Определим постоянные интегрирования в решении уравнения затухающих колебаний (17). Обозначим смещение и скорость в начальный момент времени t0=0 через x0 и
 соответственно. После подстановки в (17) получим

x0=C1;
,

тогда

C1=x0;
,

и решение уравнения (16) , удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид

  
                               (23)

Пример 5. Амплитуда собственных колебаний за один период уменьшилась в два раза.Определить логарифмический декремент колебаний и изменение собственной частоты вследствие затухания.

Решение.

Логарифмический декремент колебаний:

;

,

откуда

.

Собственная частота колебаний:

,

т. е. изменение собственной частоты вследствие затухания составляет 0,6 %.


Содержание  Назад  Вперед