Отношение двух последовательных максимальных отклонений
Величину
называют угловой частотой затухающих колебаний.
Отношение двух последовательных максимальных отклонений от положения равновесия
. (20)
Значит, последовательные максимальные отклонения системы от равновесного положения (амплитуды колебаний) представляют собой члены геометрической прогрессии со знаменателем, равным
. Чаще рассматривают не отношение двух последовательных амплитуд, а логарифм этого отношения, который называют логарифмическим декрементом
колебаний:
. (21)
В металлических конструкциях без специально введенных элементов трения логарифмический декремент составляет обычно от нескольких сотых до десятых долей единицы.
Если колебания затухают медленно и отношение двух последовательных амплитуд
близко к единице, то
,
где
;
.
Таким образом, при малом затухании логарифмический декремент примерно равен отношению изменения амплитуды колебаний за период
к амплитуде
А.
Так как логарифмический декремент колебаний
,
то
.
Подставляя значение n2 в формулу для
, установим связь между величинами
,
и
:
. (22)
Из (22) следует, что даже при значительном затухании частота
затухающих колебаний мало отличается от частоты
собственных колебаний соответствующей системы без трения. Например, при сравнительно большом затухании, когда каждый следующий размах вдвое меньше предыдущего (
), частота
лишь на 0,6 % меньше, чем
. Таким образом, можно считать, что трение практически не влияет на частоту колебаний и
.
Определим постоянные интегрирования в решении уравнения затухающих колебаний (17). Обозначим смещение и скорость в начальный момент времени t0=0 через x0
и
соответственно. После подстановки в (17) получим
x0=C1;
,
тогда
C1=x0;
,
и решение уравнения (16) , удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид
(23)
Пример 5. Амплитуда собственных колебаний за один период уменьшилась в два раза.Определить логарифмический декремент колебаний и изменение собственной частоты вследствие затухания.
Решение.
Логарифмический декремент колебаний:
;
,
откуда
.
Собственная частота колебаний:
,
т. е. изменение собственной частоты вследствие затухания составляет 0,6 %.
Содержание Назад Вперед