Теоретические основы динамики машин

pokerok gg скачать на андроид           

Уравнение движения пластины постоянной толщины


Расположим оси

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 и
Уравнение движения пластины постоянной толщины
 в срединной плоскости пластины, ось
Уравнение движения пластины постоянной толщины
 направим по нормали к этой плоскости. Дифференциальное уравнение статического изгиба пластины постоянной толщины
Уравнение движения пластины постоянной толщины
 при малых перемещениях имеет вид

Уравнение движения пластины постоянной толщины

где

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 - бигармонический оператор;

Уравнение движения пластины постоянной толщины

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 - прогиб;

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 - цилиндрическая жесткость;

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 - интенсивность нормальной нагрузки.

Добавляя к внешней нагрузке интенсивность сил инерции,

                                             

Уравнение движения пластины постоянной толщины
                                                     (313)

где

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 - плотность материала, получим уравнение движения

         

Уравнение движения пластины постоянной толщины
                           (314)

При свободных колебаниях нагрузка

Уравнение движения пластины постоянной толщины
, и решение уравнения (314) ищется в виде

         

Уравнение движения пластины постоянной толщины
                                             (315)

Подставляя (315) в однородное уравнение, соответствующее (314), получим для амплитудной функции

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 уравнение в частных производных

                

Уравнение движения пластины постоянной толщины
                                            (316)

где                          

Уравнение движения пластины постоянной толщины

Уравнение (316) может быть представлено так:

Уравнение движения пластины постоянной толщины

откуда следует, что решениями (316) являются, в частности, решения более простых уравнений:

         

Уравнение движения пластины постоянной толщины
                                                  (317)

            или               

Уравнение движения пластины постоянной толщины

Из бесчисленного множества решений уравнения (316) должны быть отобраны те, которые соответствуют условиям закрепления краев пластинки. Эти условия будут такими же, как и при статическом изгибе: на жестко защемленном краю

         

Уравнение движения пластины постоянной толщины

на шарнирно опертом краю

         

Уравнение движения пластины постоянной толщины

на свободном краю

         

Уравнение движения пластины постоянной толщины

где

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 и
Уравнение движения пластины постоянной толщины
 - амплитудный изгибающий момент и приведенная поперечная сила на контуре.

Если пластина отнесена к декартовой системе координат

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 то
Уравнение движения пластины постоянной толщины
 и
Уравнение движения пластины постоянной толщины
 определяются формулами

Уравнение движения пластины постоянной толщины
Уравнение движения пластины постоянной толщины

Уравнение движения пластины постоянной толщины
Уравнение движения пластины постоянной толщины
?
Уравнение движения пластины постоянной толщины

где

Уравнение движения пластины постоянной толщины
 - угол, образуемый внешней нормалью к контуру с осью х;
Уравнение движения пластины постоянной толщины
 - радиус кривизны контура.




Содержание раздела