Теория колебаний оболочек без растяжения срединной поверхности

На основе описанной выше теории рассмотрим колебания цилиндрической оболочки (рис.75). Определим положение произвольной точки

на срединной поверхности оболочки координатами

Рис.75

Компоненты перемещения точки в продольном, окружном и нормальном к поверхности направлениях обозначим соответственно

. Компоненты деформации срединной поверхности определяются формулами

(344)

Приравняв

нулю и проинтегрировав полученные уравнения, выразим

через две произвольные функции угловой координаты

(345)

Из полученных формул видно, что при деформации цилиндрической оболочки без растяжения срединной поверхности образующие остаются прямыми, а осевые перемещения не зависят от продольной координаты.

Формулы показывают, что чистые изгибания замкнутой цилиндрической оболочки возможны в следующих случаях: а) если ее торцы свободны; в этом случае отличны от нуля

; б) если на одном из торцов запрещены перемещения

, но разрешено перемещение

; в) если на одном из торцов запрещено перемещение

. Если же оболочка оперта на обоих торцах, чистое изгибание ее невозможно.

Составим выражения потенциальной и кинетической энергии оболочки, совершающей гармонические колебания с частотой

. В общем выражении потенциальной энергии деформации сохраняется только слагаемое

. Входящие в него параметры изменения кривизны определяются формулами

После подстановки этих значений в выражение

(341) и интегрирования по

с учетом того, что

, находим

(346)

где

Интегралы в выражениях

вычисляются по всей длине оболочки.

Из основного уравнения метода Рэлея-Ритца следует, что выражение

(где

- частота собственных колебаний) должно иметь стационарное значение:

Отсюда следует система обыкновенных дифференциальных уравнений для функции

. В этом случае, если форма всех меридиональных сечений одинакова (толщина оболочки не зависит от

), коэффициенты

постоянны и уравнения получают такой вид:

(347)

. (348)

Решение этих дифференциальных уравнений для открытых оболочек должно быть подчинено граничным условиям на продольных кромках.
На этих кромках могут быть заданы перемещения

(постоянные вдоль каждой кромки), а также перемещения

и угол поворота

в двух различных сечениях по длине оболочки. Всего имеется семь кинематических граничных условий на каждой продольной кромке, что соответствует четырнадцатому порядку уравнений (347)-(348). Если закрепления отсутствуют, то кинематические граничные условия заменяются естественными граничными условиями.

Если оболочка симметрична относительно поперечного сечения

(рис.76,а), то

и функции

определяются независимыми дифференциальными уравнениями

(349)

Функция

описывает в этом случае кососимметричные относительно сечения

формы колебаний, а функция

- симметричные. Уравнение, определяющее функцию

, совпадает с уравнением колебаний кольца в своей плоскости.

Рис.76

Для замкнутой оболочки граничные условия заменяются условиями периодичности, которым удовлетворяют функции

. В случае симметричной оболочки подстановка этих выражений в уравнения (349) приводит к следующим значениям частот для

кососимметричных колебаний:

и для симметричных колебаний:

.

Для оболочки постоянной толщины

и длины

(рис.76,б):

В этом случае

Как видно из полученных формул, при колебаниях оболочек без растяжения срединной поверхности частоты определяются зависимостями такого же типа, как и для пластинок

где

- цилиндрическая жесткость;

- числовой коэффициент. При стремлении толщины оболочки к нулю частота ее колебаний без растяжения срединной поверхности также стремится к нулю.

Содержание раздела

Главная сайта