Теоретические основы динамики машин
          

Теорема и метод Рэлея


Согласно этой теореме, истинное значение низшей собственной частоты всегда меньше, чем приближенное значение частоты, вычисленное энергетическим способом. Докажем эту теорему для изгибных колебаний, совершенно аналогично она доказывается и для других видов колебаний.

Положим, что при решении энергетическим способом задачи о свободных изгибных колебаниях была принята форма колебаний f = f(x). Тогда соответствующая статическая нагрузка, способная вызвать изгиб по кривой f(х), может быть представлена в виде

Теорема и метод Рэлея

Следовательно, приближенное  выражение  для квадрата частоты

Теорема и метод Рэлея
.                                           (264)

Ввиду известного произвола в выборе функции f(x) она не совпадает ни с одной из собственных форм, которые являются точными решениями; однако функцию f(x) можно представить в виде ряда по этим формам. Если ищут низшую собственную частоту, то функцию f(x) можно представить  так:

f(x) = X1(x)+ b2X2(x)+b3X3(x) +...                        (265)

При удачном выборе функция f(x) близка к Х1(х), поэтому коэффициенты  b2 , b3 ... - малые числа .

Два раза продифференцируем выражение (265) по х, затем умножим обе части на жёсткость EJ и вновь дважды продифференцируем результат. Тогда получим

Теорема и метод Рэлея
                  (266)

Согласно основному уравнению (243),  можно записать:

Теорема и метод Рэлея
;
Теорема и метод Рэлея
;...

Подставляя эти значения в выражение (266), получим

Теорема и метод Рэлея
                         (267)

При помощи (265) и (267) образуем числитель формулы (264):

Теорема и метод Рэлея
.

Вследствие ортогональности собственных форм все интегралы от произведений, где индексы сомножителей различны, равны нулю, поэтому

Теорема и метод Рэлея
.                (268)

Знаменатель формулы (264) получим при помощи (265) в виде

Теорема и метод Рэлея
  (269)

Здесь также исчезают все члены, содержащие произведения Xm Xn. Подставляя (268) и (269) в (264), получим квадрат низшей частоты

Теорема и метод Рэлея
     (270)

Так как w1<w2<w3<...,то все дроби

Теорема и метод Рэлея
 больше единицы и, следовательно, все члены числителя, начиная со второго, больше соответствующих членов знаменателя. Поэтому вся дробь, входящая в (270), больше единицы, т е.

w2>

Теорема и метод Рэлея
,                                                     (271)

что и утверждается теоремой Рэлея.

Неравенство (271) справедливо не только для изгибных, но и для продольных и крутильных колебаний.



Содержание раздела



Главная сайта