Как уже говорилось (см. подразд. 1.4), дифференциальные уравнения движения таких систем можно получить тремя основными способами: 1) в форме уравнений Лагранжа; 2) прямым способом; 3) обратным способом.
Наиболее общий вид дифференциальных уравнений движения может быть получен в форме уравнений Лагранжа
где K и П - кинетическая и потенциальная энергии соответственно;
Известно, что при малых колебаниях около положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии выражаются через обобщённые координаты и обобщённые скорости следующим образом:
где
Подставляя (30) в (29), получим систему однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
Однако составление уравнений движения по схеме Лагранжа не является обязательным, потому что во многих случаях прямой или обратный способы оказываются более удобными.
Рассмотрим особенности названных способов на примере системы с двумя степенями свободы, состоящей из тел с массами
За обобщённые координаты примем горизонтальные перемещения
Основной способ (уравнения Лагранжа)
Кинетическая энергия рассматриваемой системы:
Потенциальная энергия деформации пружин:
Вычислим производные, необходимые для подстановки в уравнения Лагранжа:
Подставляя вычисленные значения в (29), получим дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы
Прямой способ
Выделяем массы