Теоретические основы динамики машин

         

Свободные колебания автомобиля


 Рассмотрим автомобиль как систему упругосвязанных между собой жестких тел (рис. 32,а). Здесь тело 1 схематически представляет собой кузов автомобиля, тела 2-5 - колеса, массы которых будем считать сосредоточенными.

Движение такой системы в процессе колебаний характеризуется семью координатами:

- вертикальное перемещение центра тяжести кузова;

- вертикальные перемещения центров тяжести колес;

- угол поворота кузова относительно поперечной оси;

- угол поворота кузова относительно продольной оси.

Распределение масс автомобиля и жестокостей упругих связей почти симметрично относительно средней продольной плоскости, поэтому в расчетах колебаний некоторой малой асимметрией можно пренебречь. При этом общий процесс колебаний можно рассматривать состоящим из двух взаимно не связанных процессов (рис. 32,б,в): продольных колебаний, характеризуемых вертикальным перемещением кузова

, поворотом кузова вокруг поперечной оси
 и попарно равными перемещениями обоих передних колес
 и обоих задних колес
; поперечных (боковых) колебаний, характеризуемых поворотом кузова вокруг продольной оси
 и попарно равными перемещениями обоих левых колес
 и обоих правых колес

Рис. 32

В соответствии с этим продольные колебания описываются четырьмя, а поперечные колебания - тремя дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим продольные колебания, которые имеют основное значение.

Обозначим жесткости шин через С; жесткости передних и задних рессор через СП и СЗ соответственно; массы кузова и колеса - через m и mК. Радиус инерции кузова относительно поперечной оси, проходящей через его центр тяжести, обозначим через

.

Тогда деформации рессор составляют



 (передняя рессора);

 (задняя рессора).

Уравнения движения  составим на основе уравнений Лагранжа.

Кинетическая энергия системы складывается из следующих частей:

кинетической энергии кузова

;

кинетической энергии передних колес

;

кинетической энергии задних колес

.

Суммарная кинетическая энергия:

.

Потенциальная энергия деформации рессор:


.

Потенциальная энергия сжатия шин:

.

Суммарная потенциальная энергия:

.

Вычисляя соответствующие производные и подставляя в уравнения Лагранжа (29), получим

         
       (73)

Частное решение системы (73) имеет вид



Подстановка частного решения в уравнение (73) приведет, как в рассмотренных ранее системах, к однородным относительно амплитуд
 алгебраическим уравнениям и соответственно обнаружатся четыре собственных частоты колебаний.

С практической точки зрения удовлетворительный результат дает рассмотрение упрощенной схемы продольных колебаний (рис. 32,г).

Будем считать шины недеформируемыми, тогда рассматриваемая система обладает двумя степенями свободы, соответствующими координатам
. Положим в полученных выше выражениях для кинетической и потенциальной энергий
, тогда эти выражения принимают вид



Уравнения Лагранжа:



Частное решение



После его подстановки получим



или

                (74)

Как обычно, для получения нетривиального решения приравниваем нулю определитель системы:



Раскрывая определитель, получим частотное уравнение в виде

    (75)

Определив из уравнения (75) собственные частоты, можно найти соответствующие им собственные формы колебаний. Для этого из какого-либо (например, из первого) уравнения системы (74) нужно образовать отношение амплитуд

                                       (76)

и подставить в него поочередно оба корня частотного уравнения.

Рассмотрим подробно частный случай такого распределения масс, при котором
 В этом случае частотное уравнение (75) имеет корни:

                                            (77)

Для определения собственных форм колебаний подставим эти корни поочередно в соотношение (76). Тогда для первой собственной формы получим



а для второй собственной формы -


Эти формы колебаний представлены на рис. 33,а,б. Их особенностью является неподвижность одной оси автомобиля при колебаниях другой. Формулы (77) показывают, что в этом частном случае частоты можно вычислять, используя схему, показанную на рис.33,в, т.е.


распределяя общую массу по закону рычага.



Рис. 33

В другом частном случае, когда Спа = СЗb, уравнения (74) становятся независимыми

                              (78)

что означает возможность чисто вертикальных колебаний при отсутствии поворотов - «подпрыгивание» (рис. 33,г), а также чисто угловых колебаний при неподвижности центра тяжести - «галопирование» (рис. 33,д). Действительно, система (78) удовлетворяется решением
 при выполнении равенства

                                   (79)

и решением
 при выполнении равенства

                             (80)

Из (79) находим первую собственную частоту:

,

а из (80) - вторую собственную частоту:

.

Пример 11. Определить собственные частоты и собственные формы колебаний автомобиля, для которого известно:
 



Содержание раздела