Сухое трение

Рассмотрим движение упруго закрепленного тела массой m по шероховатой поверхности. Как уже отмечалось, в этом случае говорят, что имеет место сухое трение (рис.17). Сила трения, действующая на массу m, постоянна по величине и направлена в сторону, противоположную движению. Уравнение свободных колебаний такой системы имеет вид

, (24)

где знак плюс соответствует этапу движения, на котором скорость положительна, а знак минус - этапу движения, на котором скорость отрицательна.

Зависимость полной действующей на груз силы F=cx

R0 от смещения x показана на рис. 18,а.

Рис. 17

Перепишем уравнение (24) в виде

. (25)

Функция sgn

есть единичная функция, имеющая знак аргумента (рис. 18,б); sgn

=1 при

>0; sgn

=-1 при

<0; sgn=0 при

=0.

Уравнение (25) содержит нелинейное слагаемое. Тем не менее можно найти решение, если рассмотреть последовательные интервалы движения, на каждом из которых скорость

имеет постоянный знак.

Отклоним массу m в крайнее правое положение на величину А и отпустим ее без начальной скорости. В этом случае

x0=A ;

. (26)

Под действием натяжения пружины на этом этапе груз двигается влево (

<0) и уравнение движения

или

, (27)

где

;

Коэффициент а представляет собой отклонение груза под действием максимально возможной силы трения. При отклонении массы m на величину, меньшую или равную а, движение не начнётся, так как силы упругости пружины недостаточно для преодоления силы трения. Полоса -а<x<a называется зоной застоя. Поэтому уравнение (27) имеет место при А>a.

Рис. 18

Общее решение уравнения (27) имеет вид

Определяя постоянные интегрирования из начальных условий (26) получим

. (28)

Закон движения (28) справедлив до тех пор, пока

<0. Так как

, то скорость движения будет отрицательной до момента времени t1, определяемого из условия:

.
В этот момент масса m остановится, смещение x равно

,

т. е. под влиянием трения отклонение массы m уменьшилось по абсолютной величине на 2а.

После остановки масса m начнёт двигаться вправо. Повторяя приведенные выше расчёты, можно показать, что движение слева направо также продолжается в течение времени

. Максимальное отклонение вправо равно А-4а. Процесс движения будет продолжаться до тех пор, пока масса m не остановится в зоне застоя. Зависимость смещения x от времени t на каждом этапе движения представляет собой косинусоиду, смещённую по оси x на величину а или -а, с амплитудой, уменьшающейся по закону арифметической прогрессии (рис.18*).

Рис. 18*

Время

между двумя соседними максимумами отклонения, которое условно можно назвать периодом колебаний,

.

Наличие сухого трения не меняет частоту колебаний.

Фазовый портрет свободных колебаний системы с сухим трением представлен на рис.19.

В координатах