Теоретические основы динамики машин
          

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении


При действии на упругую систему (балку или раму) с конечным числом степеней свободы вибрационной гармонической нагрузки изгибающие моменты, поперечные и продольные силы также будут изменяться во времени, а их наибольшие значения (амплитуды) будут зависеть от частот возмущающих сил. Если все возмущающие нагрузки, действующие на систему, имеют одну и ту же частоту р и изменяются в одной фазе, то силы инерции, а следовательно, и изгибающие моменты, поперечные и продольные силы достигают наибольших значений в одно и то же время.

Для решения задачи о вынужденных колебаниях стержневой системы можно использовать как метод сил, так и метод перемещений, причём наибольшее применение в расчётной практике находит первый из указанных методов.

 Метод сил. Рассмотрим упругую систему (рис.50) с конечным числом сосредоточенных масс, на которую действуют вибрационные силы

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
.

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении

Рис. 50

Перемещение любой массы

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 в произвольный момент времени
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
выражается в виде

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
,                      (135)

где

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
силы инерции соответствующих масс;   
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 перемещения по направлению силы инерции
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
, вызванные единичными  силами
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
, приложенными в точках нахождения соответствующих  масс;
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
перемещение точки расположения массы
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 от действия амплитудных значений всех  приложенных вибрационных нагрузок.

Перечисленные перемещения вычисляются путём перемножения соответствующих эпюр методом Мора-Верещагина.

С другой стороны, при гармонических вынужденных колебаниях с

частотой р перемещение массы

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 и её ускорение можно записать в виде

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении

Сила инерции массы

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
:

  

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
,

отсюда

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
                                             (136)

Подставляя (136) в (135), после простейших преобразований получим

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
,

где

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
.

Записывая аналогичные уравнения для каждой из сосредоточенных масс, получим систему уравнений, которая называется системой канонических уравнений динамического варианта метода сил:

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
                     (137)

где

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
число степеней свободы системы.

Уравнения (137) позволяют определить наибольшие (амплитудные) значения сил инерции.


Сама система уравнений (137) по форме аналогична системе канонических уравнений метода сил, используемого при расчёте статически неопределимых систем, но неизвестными в ней являются не реакции отброшенных связей в статически неопределимой системе, а амплитуды сил инерции масс, которые могут возникать как в статически определимой, так и в статически неопределимой системах.

После вычисления максимальных значений сил инерции
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 эпюра динамических изгибающих моментов строится путём сложения единичных эпюр, предварительно умноженных на найденные значения соответствующих инерционных сил, с эпюрой
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
, т.е. в соответствии с выражением

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
.

Использование симметрии системы при её расчёте на вынужденные колебания оказывается возможным только при симметричном расположении масс.

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении


Рис. 51

При несимметричной вибрационной нагрузке разложение сил инерции на симметричные и обратно симметричные группы (рис.51) приводит к распаду системы канонических уравнений на две независимые системы.

В этом случае вычисление главных перемещений по направлению парных неизвестных нужно вести по формуле

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
.

При симметричной вибрационной нагрузке все обратно симметричные силы инерции равны нулю, а при обратно симметричной вибрационной нагрузке симметричные силы инерции равны нулю. Симметричная нагрузка может привести к резонансу только при совпадении её частоты с собственными частотами симметричных колебаний системы и, наоборот, обратно симметричная нагрузка может дать резонанс только с частотами обратно симметричных свободных колебаний.

Метод перемещений. Этому методу отдают предпочтение при расчёте рам на вынужденные колебания. Рассмотрим систему (рис.52,а), для которой основная система получается путём введения связей по направлению неизвестных перемещений
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 соответствующих масс
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 (рис.52,б).

а                                                                б

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
           
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении


Рис. 52

Уравнение, выражающее равенство нулю динамической реакции введённой связи по направлению любого перемещения
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 с учётом силы инерции
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
, выражается в виде



Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
.

Учитывая, что при гармонических колебаниях
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
, получим систему уравнений

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
                               (138)

где

Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
.

Строго говоря, неизвестные
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 и свободные члены
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
  являются величинами переменными, изменяющимися одновременно и по одному и тому же закону, характеризуемому множителем
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
, к их амплитудным значениям. Так как этот множитель присутствует во всех членах системы (138), то на него может быть произведено сокращение. Тогда неизвестные и свободные члены уравнений (138) должны рассматриваться в качестве соответствующих амплитудных значений.

 Реакции
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 определяются от единичных перемещений основной системы, приложенных в тех сечениях, где находятся точечные массы, т.е. так же, как и при определении частот свободных колебаний.

 Реакции от амплитудных значений вибрационных нагрузок
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 определяются в основной системе.

 После вычисления неизвестных амплитуд перемещений
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 эпюра динамических изгибающих моментов строится в соответствии с выражением

 
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
,

где
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 эпюры изгибающих моментов в основной системе от соответствующих единичных перемещений;
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
эпюра моментов в основной системе от амплитудных значений вибрационных нагрузок.

Система уравнений (138) по своей структуре аналогична системе канонических уравнений метода перемещений, применяемого для расчёта статически неопределимых систем, но здесь неизвестные
Стержневые системы с конечным числом степеней свободы при гармоническом нагружении
 являются не искомыми перемещениями узлов рамы, а амплитудами перемещений сосредоточенных масс.

Так же как и метод сил, метод перемещений может быть использован не только для систем, совершающих изгибные вынужденные колебания, но и для систем, испытывающих продольные вынужденные колебания.


Содержание раздела



Главная сайта