Случаи периодического изменения параметрических нагрузок
Простейший пример рассматриваемого типа представлен на рис.60,а.
Масса 1 закреплена на верхнем конце вертикального абсолютно жесткого стержня 2; внизу стержень имеет опору, упруго сопротивляющуюся повороту опорного сечения («упругий шарнир»). На верхний конец стержня действует вертикальная сила F. Такая система представляет собой результат упрощенной схематизации реального стержня, обладающего распределенными массой и упругостью.
Сила F является параметрической нагрузкой, и если она постоянна во времени, ее критическое значение можно найти при помощи формулы Эйлера.
Рис. 60
Пусть
- угол отклонения стержня от вертикали; C - коэффициент жесткости упругого шарнира. Тогда восстанавливающий момент (момент упругого шарнира) составляет -
, а уравнение имеет вид
(156)
Очевидно, что
; отсюда следует, что отклоненное состояние равновесия возможно, если
(157)
Этой формулой определяется критическое значение статически действующей силы F (например веса груза 1).
Это же значение можно найти, рассматривая свободные колебания груза 1. В отличие от уравнения статики (156) уравнение моментов относительно шарнира 3 содержит инерционное слагаемое:
(158)
или
При
частота свободных колебаний системы обращается в нуль, т.е. система становится неустойчивой. Значение критической силы вновь определяется формулой (157).
Рассмотрим случай, когда сила F изменяется во времени, следуя гармоническому закону:
При этом уравнение колебаний стержня (158) принимает вид
или
Это уравнение приводится к стандартной форме - уравнению Матье (151), если положить
(159)
При возрастании частоты
параметры
и
пропорционально уменьшаются. Штриховой луч (рис.58) указывает, что система проходит ряд последовательно чередующихся устойчивых и неустойчивых состояний. Наклон луча определяется отношением
где
-статическая критическая сила, определяемая выражением (157).
При данном значении
величина
зависит от разности
. Чем ближе значение статической составляющей
к критическому значению
, тем круче проходит луч и тем шире пересекаемые им участки областей неустойчивости.
Потеря устойчивости возможна при сколь угодно малых значениях сжимающей статической составляющей
и даже при изменении ее знака, т.е. при растягивающей статической составляющей. Как видно из рис. 58, луч
при
< 0 проходит весьма полого, но также пересекает ряд областей неустойчивости.
С другой стороны, диаграмма Айнса-Стретта позволяет установить, что устойчивость системы возможна при
и даже при
. Действительно, если
, то
луч
совпадает с осью ординат диаграммы Айнса-Стретта, но система остается неустойчивой, если
Согласно условиям (159), для этого необходимо выполнение неравенства
При
луч
располагается во втором квадранте диаграммы; из рис.60,б следует, что и в этом случае возможна устойчивость системы в надлежаще выбранном диапазоне изменения частот
. Таким образом, вибрационная составляющая сжимающей силы может при определенных условиях стабилизировать систему, которая неустойчива в отсутствие колебаний.
