Теоретические основы динамики машин

         

Решение уравнений движения для простейшей системы


Вернёмся к рассмотрению простейшей системы - с двумя степенями свободы (рис. 22,а), на примере которой проследим получение решения уравнений движения.

Будем искать решение уравнений (32) в виде

                                             (40)

Функции (40) не являются общим решением уравнений (32), но позволяют его построить.

Подставляя (40) в (32), получим

или

                                     (41)

Однородная система (41) имеет тривиальное решение

, которое означает отсутст­вие колебаний и интереса не представляет. Ненулевое решение система (41) имеет тогда и только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при амплитудах колебаний
и
, равен нулю:

.

Этот определитель называется частотным, а раскрывая его, получим частотное,  или  вековое уравнение

.                                  (42)

Это частотное уравнение всегда имеет два вещественных и положительных решения, т.е. сис­тема с двумя степенями свободы (рис. 22,а) имеет две собственные частоты:



              (43)

Таким образом, колебательный процесс оказывается двухчастотным и определяется функ­циями

и
. Чтобы отразить в общем решении обе гармоники, услож­ним индексацию и запишем решение (40) несколько в ином виде

                             (44)

где у амплитуды

 индекс i означает номер координаты, а индекс j - номер частоты.

Установим связь между амплитудами

 и
, используя любое из двух уравнений (41), на­пример, первое:

.                                           (45)

Подставим в (45) первую собственную частоту

 и перейдём к двухиндексному обозначению амплитуд (см. выше), тогда получим независящее от начальных условий отношение амплитуд первой гармоники:

.                                        (46)

Аналогично из того же соотношения (45) при

 получим для

 второй гармоники:

.                                        (47)

Следовательно, решение (44) с учётом (46) и (47) можно переписать в виде

                       (48)

В (48) собственные частоты

 и
 и отношения
 и
 зависят только от па­раметров колебательной системы.
Величины
 можно определить из четырёх началь­ ных условий, выражающих значения смещений и скоростей обеих масс в начальный момент времени.
Пусть, например, при
:
;
,
т.е. движение системы вызвано мгновенным ударом по второй массе.
Из (48) получим

Отсюда находим

Величины
и
 можно вычислить по (43), (46) и (47).
Искусственным подбором начальных условий можно добиться одночастотности колебаний. Например, если сделать так, чтобы
, то колебания будут описываться одной гармоникой:

Коэффициент
 не зависит от начальных условий, поэтому рассматриваемые одночастотные колебания характеризуются вполне определённым, зависящим только от параметров системы, отношением амплитуд, которое остаётся неизменным в процессе колебаний. Это отношение определяет первую собственную форму колебаний.
Если начальные условия таковы, что
, то колебания будут также одночастотными, но с частотой
:

при этом отношение амплитуд
определяет вторую собственную форму колебаний.

Содержание раздела