Теоретические основы динамики машин

          

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок


Метод Рэлея-Ритца позволяет расчетным путем приближенно определять частоты собственных колебаний пластинок переменной толщины и, в частности, дисков турбомашин. Преимуществом этого метода является также возможность легко учесть влияние на частоту различных побочных факторов, например начальных напряжений в срединной поверхности пластинки.

Потенциальная энергия деформации пластинки при ее изгибе по форме, определяемой функцией

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
, выражается двойным интегралом

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
   (333)

где

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
; интеграл берется по всей поверхности пластинки, причем для пластинки постоянной толщины, заделанной по контуру, интеграл от второго слагаемого выражения (333) обращается в нуль.

Обобщенная масса пластинки

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
                                    (334)

В соответствии с методом Рэлея-Ритца форма колебаний задается в виде ряда

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
                            (335)

где каждая из координатных функций

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 удовлетворяет геометрическим граничным условиям.

Равенство нулю определителя системы уравнений

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
                     (336)

позволяет определить частоты собственных колебаний.

Если в (335) ограничиваются одним слагаемым, то частота определяется по формуле Рэлея

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
                                               (337)

Можно задаваться выражением для формы колебаний, в которое параметры

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 входят нелинейно

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

В этом случае уравнения метода Рэлея-Ритца (336) оказываются нелинейными и проще исходить не из них, а из условий экстремума выражения (337), причем значения параметров, при которых достигается этот экстремум, находятся численными методами.

Рассмотрим в качестве примера заделанную по контуру прямоугольную пластинку постоянной толщины. Ограничиваясь одним слагаемым выражения (335), принимаем

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
.

Проводя вычисления по  (333) и (334), находим

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

Для частоты колебаний получаем

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

При

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
:

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

что на 3,3 % выше точного значения.

При расчете колебаний круглых пластин целесообразно использовать выражения энергии деформации и обобщенной массы в полярных координатах

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

         

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

где интегрирование выполняется по всей срединной поверхности пластинки.


При изучении колебаний осесимметричных пластин полагают

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок


В этом случае интегрирование по
Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 можно выполнить в общем виде и выражения для
Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 и
Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 представляются в форме

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок


Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
                                   (338)

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
                                             (339)

Для сплошной свободной пластинки вычисления упрощаются, если принять функцию
Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 в виде

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок


где
Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 - параметр, определяемый из условия минимума формулы Рэлея (337).

Тогда
Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 и
Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 определяются формулами

         
Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок


Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок


Чтобы оценить погрешность метода, применим его для расчета частоты колебаний диска постоянной толщины при двух узловых диаметрах. В этом случае

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
;

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок


Отсюда находим

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок


Минимальное значение частоты при
Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
 

Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок


что дает ошибку порядка 5 %.


Содержание раздела