Теоретические основы динамики машин

          

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам


Точное решение задачи об определении собственных частот и форм колебаний прямоугольной пластины может быть получено, если две противолежащие стороны пластины имеют шарнирное опирание. При этом закрепление двух других сторон может быть произвольным.

Пусть у прямоугольной пластины размерами (

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
- размер вдоль оси
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
;
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 - вдоль оси
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
) шарнирно оперты края
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 и
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
.

Тогда выражение для амплитудных прогибов, удовлетворяющее условиям шарнирного опирания на этих краях, можно представить в виде

         

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Подставляя это выражение в (318) и (319), устанавливаем, что функция

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 должна удовлетворять одному из двух уравнений:

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

где

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

или

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

где

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Решениями этих уравнений являются выражения

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
  
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 Следовательно, общее выражение для
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 принимает вид

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Это выражение должно удовлетворять граничным условиям при

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 Если эти края пластины также шарнирно оперты, то должно быть

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Из условий при

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 находим

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Условия при

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 приводят к уравнениям

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим частотное уравнение

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

которое выполняется при

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Так как

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
, то
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Тогда собственные частоты пластинки, шарнирно опертой по контуру, определяются формулой

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
               (320)

где

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Низшая частота

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 соответствует
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
 т.е. колебаниям пластинки без узловых линий:

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Форма колебаний определяется выражением

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
                                          (321)

Аналогичным образом проводится расчет и при других условиях закрепления границ

Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам



Содержание раздела