Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам
Точное решение задачи об определении собственных частот и форм колебаний прямоугольной пластины может быть получено, если две противолежащие стороны пластины имеют шарнирное опирание. При этом закрепление двух других сторон может быть произвольным.
Пусть у прямоугольной пластины размерами (






Тогда выражение для амплитудных прогибов, удовлетворяющее условиям шарнирного опирания на этих краях, можно представить в виде

Подставляя это выражение в (318) и (319), устанавливаем, что функция


где

или

где

Решениями этих уравнений являются выражения




Это выражение должно удовлетворять граничным условиям при


Из условий при


Условия при


Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим частотное уравнение

которое выполняется при

Так как


Тогда собственные частоты пластинки, шарнирно опертой по контуру, определяются формулой

где

Низшая частота



Форма колебаний определяется выражением

Аналогичным образом проводится расчет и при других условиях закрепления границ
