Теоретические основы динамики машин

          

Определение форм и частот колебаний


Для круглой пластины в уравнениях (317) для амплитудной функции

Определение форм и частот колебаний
 следует перейти к полярным координатам
Определение форм и частот колебаний
. В этих координатах оператор Лапласа имеет вид

Определение форм и частот колебаний

Таким образом, уравнение (317) в полярных координатах принимает форму

Определение форм и частот колебаний
                         (325)

Решения этих уравнений, соответствующие колебаниям пластины с n

узловыми диаметрами, можно представить в виде

Определение форм и частот колебаний

После подстановки этого выражения приходим к уравнениям:

Определение форм и частот колебаний
                           (326)

Определение форм и частот колебаний
                            (327)

Решениями уравнения (326) являются бесселевы функции порядка

Определение форм и частот колебаний
 первого
Определение форм и частот колебаний
 и второго
Определение форм и частот колебаний
 рода; решениями уравнения (327) - модифицированные бесселевы функции
Определение форм и частот колебаний
,
Определение форм и частот колебаний
. Таким образом, общее выражение амплитудной функции с
Определение форм и частот колебаний
 узловыми диаметрами таково:

Определение форм и частот колебаний
          (328)

Для кольцевой пластинки имеются четыре граничных условия (по два на каждом краю), которые образуют однородную систему уравнений относительно констант

Определение форм и частот колебаний
 Для сплошной пластинки в выражении (328) равны нулю коэффициенты
Определение форм и частот колебаний
 и
Определение форм и частот колебаний
 при функциях, стремящихся к бесконечности при
Определение форм и частот колебаний
 Граничные условия на внешнем контуре пластинки образуют в этом случае однородную систему уравнений относительно
Определение форм и частот колебаний
 и
Определение форм и частот колебаний
. Частотное уравнение получается путем приравнивания нулю определителя системы.

В качестве примера рассмотрим колебания свободной сплошной круглой пластинки. В этом случае на контуре должны выполняться условия:

Определение форм и частот колебаний

Изгибающий момент определяется формулой

Определение форм и частот колебаний

Поперечная сила:

Определение форм и частот колебаний
 

Крутящий момент:

Определение форм и частот колебаний

Таким образом, граничные условия имеют вид

Определение форм и частот колебаний

Определение форм и частот колебаний
                     (329)

Учитывая, что

Определение форм и частот колебаний
 является решением уравнения
Определение форм и частот колебаний
, а
Определение форм и частот колебаний
 - уравнения
Определение форм и частот колебаний
, находим

Определение форм и частот колебаний

При подстановке в (329) вместо

Определение форм и частот колебаний
 его выражения

Определение форм и частот колебаний

учтем правила дифференцирования функций Бесселя:

Определение форм и частот колебаний

Определение форм и частот колебаний

В результате приходим к уравнениям

Определение форм и частот колебаний

Определение форм и частот колебаний

Здесь аргументом всех бесселевых функций является величина

Определение форм и частот колебаний
, где
Определение форм и частот колебаний
 - радиус пластинки.

Значения

Определение форм и частот колебаний
, обращающие в нуль определитель полученной системы, связаны с собственными частотами равенством

Определение форм и частот колебаний
 

Если ограничиться формами колебаний без узловых окружностей, то значениям

Определение форм и частот колебаний
 и
Определение форм и частот колебаний
 соответствуют смещения пластинки как жесткой и нулевые частоты.
При
Определение форм и частот колебаний
 ( два узловых диаметра) частотное уравнение можно привести к виду

Определение форм и частот колебаний


При
Определение форм и частот колебаний
 наименьший корень этого уравнения
Определение форм и частот колебаний


 и соответствующая частота собственных колебаний

Определение форм и частот колебаний


Для заделанной по контуру пластинки граничные условия

Определение форм и частот колебаний


Частотное уравнение

Определение форм и частот колебаний



Содержание раздела