Определение форм и частот колебаний
Для круглой пластины в уравнениях (317) для амплитудной функции



Таким образом, уравнение (317) в полярных координатах принимает форму

Решения этих уравнений, соответствующие колебаниям пластины с n
узловыми диаметрами, можно представить в виде

После подстановки этого выражения приходим к уравнениям:


Решениями уравнения (326) являются бесселевы функции порядка







Для кольцевой пластинки имеются четыре граничных условия (по два на каждом краю), которые образуют однородную систему уравнений относительно констант






В качестве примера рассмотрим колебания свободной сплошной круглой пластинки. В этом случае на контуре должны выполняться условия:

Изгибающий момент определяется формулой

Поперечная сила:

Крутящий момент:

Таким образом, граничные условия имеют вид


Учитывая, что





При подстановке в (329) вместо


учтем правила дифференцирования функций Бесселя:


В результате приходим к уравнениям


Здесь аргументом всех бесселевых функций является величина


Значения


Если ограничиться формами колебаний без узловых окружностей, то значениям


При


При


и соответствующая частота собственных колебаний

Для заделанной по контуру пластинки граничные условия

Частотное уравнение
