Определение форм и частот колебаний

Для круглой пластины в уравнениях (317) для амплитудной функции

 следует перейти к полярным координатам . В этих координатах оператор Лапласа имеет вид

Таким образом, уравнение (317) в полярных координатах принимает форму

                         (325)

Решения этих уравнений, соответствующие колебаниям пластины с n

узловыми диаметрами, можно представить в виде

После подстановки этого выражения приходим к уравнениям:

                           (326)

                            (327)

Решениями уравнения (326) являются бесселевы функции порядка

 первого  и второго  рода; решениями уравнения (327) - модифицированные бесселевы функции , . Таким образом, общее выражение амплитудной функции с  узловыми диаметрами таково:

          (328)

Для кольцевой пластинки имеются четыре граничных условия (по два на каждом краю), которые образуют однородную систему уравнений относительно констант

 Для сплошной пластинки в выражении (328) равны нулю коэффициенты  и  при функциях, стремящихся к бесконечности при  Граничные условия на внешнем контуре пластинки образуют в этом случае однородную систему уравнений относительно  и . Частотное уравнение получается путем приравнивания нулю определителя системы.

В качестве примера рассмотрим колебания свободной сплошной круглой пластинки. В этом случае на контуре должны выполняться условия:

Изгибающий момент определяется формулой

Поперечная сила:

 

Крутящий момент:

Таким образом, граничные условия имеют вид

                     (329)

Учитывая, что

 является решением уравнения , а  - уравнения , находим

При подстановке в (329) вместо

 его выражения

учтем правила дифференцирования функций Бесселя:

В результате приходим к уравнениям

Здесь аргументом всех бесселевых функций является величина

, где  - радиус пластинки.

Значения

, обращающие в нуль определитель полученной системы, связаны с собственными частотами равенством

 

Если ограничиться формами колебаний без узловых окружностей, то значениям

 и  соответствуют смещения пластинки как жесткой и нулевые частоты.
При  ( два узловых диаметра) частотное уравнение можно привести к виду



При  наименьший корень этого уравнения

 и соответствующая частота собственных колебаний



Для заделанной по контуру пластинки граничные условия



Частотное уравнение




Содержание раздела

---

---