Теоретические основы динамики машин

          

Общий случай


Способы решения. Если внешние силы изменяются по периодическому закону, то обычно их раскладывают в тригонометрический ряд, т.е. представляют в виде суммы гармоник. Затем на основании принципа независимости действия сил суммарное движение определяется как сумма движений, вызванных каждой из гармоник в отдельности. При таком подходе задача сводится к задаче о вынужденных колебаниях системы, вызываемых действием одной гармоники возмущения

Общий случай
 (или
Общий случай
), где
Общий случай
амплитуда возмущающей силы, действующей по i-му направлению;
Общий случай
частота возмущения, общая для всех сил, приложенных к различным точкам системы.

Решение этой основной задачи чаще всего ведут одним из двух способов: непосредственного решения или разложения по собственным формам колебаний. Наибольшее распространение в расчётной практике получил второй способ. Помимо этого, иногда используется способ разложения по собственным формам колебаний при сохранении заданного вида периодических нагрузок, т.е. без разложения их на гармонические составляющие.

Особенности каждого из этих способов рассмотрим на примере простейшей двухмассовой системы (рис.48).

 Непосредственное решение. Предполагая, что внешняя нагрузка разложена в тригонометрический ряд, исследуем движение системы, вызванное одной гармоникой возмущения. Силы, действующие на каждую массу, обозначим через

Общий случай
и
Общий случай
. В дальнейшем будет рассмотрен также случай, когда обе силы имеют одинаковую частоту, но разные фазы.

Общий случай

Рис. 48

Уравнения движения такой системы аналогичны уравнениям движения при свободных колебаниях, но нули в правых частях заменяются действующими силами

Общий случай
и
Общий случай
:

Общий случай
                             (122)

Решение этой системы, как и решение одного уравнения, состоит из двух частей: решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы (122).

Слагаемое, описывающее колебания с собственной частотой (т.е. решение однородной системы), меняется с течением времени, быстро уменьшаясь вследствие действия сил затухания. Основной интерес представляет вторая часть решения, соответствующая незатухающему стационарному процессу вынужденных колебаний.


Примем частное решение в виде

Общий случай
Общий случай
.                           (123)

После подстановки (123) в (122) получим два уравнения с двумя неизвестными амплитудами
Общий случай
и
Общий случай
:

Общий случай
                   (124)

Решая систему уравнений (124), находим

Общий случай
                           (125)

Знаменатели выражений для
Общий случай
и
Общий случай
 совпадают с левой частью частотного уравнения (42), если заменить в нём букву
Общий случай
 буквой
Общий случай
. Следовательно, если частота возмущения
Общий случай
 совпадает с любой из двух собственных частот
Общий случай
 или
Общий случай
, то знаменатели формул (125) обратятся в нуль, а амплитуды
Общий случай
 и
Общий случай
 станут бесконечно большими (резонанс).

При
Общий случай
 формулы (125) определяют статические отклонения обеих масс,  вызванные силами
Общий случай
 и
Общий случай
:

Общий случай


При
Общий случай
 решения системы (125) стремятся к нулю. Зависимость амплитуды
Общий случай
 от частоты показана на рис.49. Этот график построен для случая:
Общий случай
. В этом случае число резонансов равно двум, что соответствует числу  степеней свободы системы и числу ее собственных частот.

 При помощи (125) можно найти форму вынужденных колебаний, определяемую отношением
Общий случай
 к
Общий случай
. В общем случае эта форма не совпадает ни с одной из собственных форм колебаний и только при резонансах форма вынужденных колебаний совпадает с формой свободных колебаний. Рассмотрим действие двух сил одинаковой частоты, но сдвинутых по фазе:
Общий случай
 и
Общий случай
.

Общий случай


 Эти силы можно представить в виде

Общий случай


а затем решать две задачи: действуют только «синусные» составляющие
Общий случай
 и
Общий случай
; действуют только «косинусные» составляющие
Общий случай
 и
Общий случай
.

В первой задаче получаются уравнения:

Общий случай


а во второй (когда частное решение имеет вид:
Общий случай
Общий случай
):

Общий случай


Решая каждую из этих задач и суммируя результаты, получим решение исходной задачи.

Если возмущающие силы имеют полигармоническую структуру

Общий случай


то резонанс становится возможным при

Общий случай
Общий случай
;
Общий случай
 ; 
Общий случай
;

Общий случай
Общий случай
;
Общий случай
 ; 
Общий случай
,

т.е. при совпадении любой из
Общий случай
частот возмущающей силы с любой из двух собственных частот системы.


Содержание раздела