Общее решение стандартного уравнения
Известны несколько методов решения уравнения (81). Рассмотрим наиболее часто используемый метод - метод вариации произвольных постоянных, применение которого позволяет получить результат, пригодный для любых законов изменения возмущающей силы.
Идея метода состоит в том, что частное решение уравнения (81) ищется в виде
соответствующем решению однородного уравнения, но здесь величины С1 и С2 следует считать не постоянными, а переменными. В результате задача определения функции x(t) заменяется задачей определения двух функций - C1(t) и C2(t). Так как для этого имеется только одно уравнение (82), то функции C1(t) и C2(t) можно связать еще одной произвольной зависимостью.
Составим выражение скорости:
и свяжем
тогда скорость запишется в форме
а ускорение
Подставляя (82) и (84) в (81), получим
Из (83) и (85) можно найти производные
Интегрируя, получим
где B1 и B2 - постоянные величины.
Подставляя (86) в ( 82), получим общее решение уравнения (81)
или, внося
Соответственно для скорости
Значения постоянных B1 и B2 можно определить только после того, как указаны начальные условия движения. Если
Тогда решение принимает вид
Здесь первые два слагаемых описывают свободные колебания, вызванные начальными возмущениями x0 и V0, а третье слагаемое характеризует вынужденные колебания, вызванные действием возмущающей силы F(t).
В случае нулевых начальных условий, когда движение начинается при x0 = 0 и V0 = 0,
В некоторых случаях удобнее использовать другую форму решения, которую получим, интегрируя по частям решение (89).
Положим
Тогда
Заменяя
Если в начальный момент времени F(0)=0, то решение принимает вид
где
Применим полученные результаты к случаю кинематического возбуждения колебаний (рис.37). Полагая F(t)=Cf(t), основное решение (89) запишем в виде
Аналогично вместо формулы (90) при F(0)=0 получим
