Теоретические основы динамики машин

         

Общее решение стандартного уравнения


Известны несколько методов решения уравнения (81). Рассмотрим наиболее часто используемый метод - метод вариации произвольных постоянных, применение которого позволяет получить результат, пригодный для любых законов изменения возмущающей силы.

Идея метода состоит в том, что частное решение уравнения (81) ищется в виде

                                         (82)

соответствующем решению однородного уравнения, но здесь величины С1 и С2 следует считать не постоянными, а переменными. В результате задача определения  функции x(t) заменяется задачей определения двух функций - C1(t) и C2(t). Так как для этого имеется только одно уравнение (82), то функции C1(t) и C2(t) можно связать еще одной произвольной зависимостью.

Составим выражение скорости:

и свяжем

 и
 соотношением

                                   (83)

тогда скорость запишется в форме

а ускорение

            (84)



Подставляя (82) и (84) в (81), получим

                             (85)

Из  (83) и (85) можно найти производные

 и

.

Интегрируя, получим

                           (86)

где B1 и B2 - постоянные величины.

Подставляя (86) в ( 82), получим общее решение уравнения (81)

      (87)

или, внося

 и
 под знаки интегралов и объединяя их,

Соответственно для скорости

            (88)

Значения постоянных B1 и B2 можно определить только после того, как указаны начальные условия движения. Если

 при t=0, то из  (87) и  (88) найдем

Тогда решение принимает вид

Здесь первые два слагаемых описывают свободные колебания, вызванные начальными возмущениями x0 и V0, а третье слагаемое характеризует вынужденные колебания, вызванные действием возмущающей силы F(t).

В случае нулевых начальных условий, когда движение начинается при x0 = 0 и V0 = 0,

                                    (89)

В некоторых случаях удобнее использовать другую форму решения, которую получим, интегрируя по частям решение (89).

Положим

Тогда

Заменяя

, по формуле интегрирования по частям получим

     (90)

Если в начальный момент времени F(0)=0, то решение принимает вид

                              (91)

где

 - переменное «статическое» перемещение, вычисляемое в предположении, что силы инерции отсутствуют.

Применим полученные результаты к случаю кинематического возбуждения колебаний (рис.37). Полагая F(t)=Cf(t), основное решение (89) запишем в виде

Аналогично вместо формулы (90) при F(0)=0 получим

                               (92)



Содержание раздела