Теоретические основы динамики машин



             

Обратный способ


  Отделяем грузы и рассматриваем упругий безмассовый скелет системы под действием кинетических реакций - сил инерции

 и
(рис. 22,в). В этой схеме первая пружина нагружена силой
, а вторая  - силой
. Перемещение
 конца первой

 пружины, равное её удлинению, можно записать в виде

Перемещение правого конца второй пружины

равно сумме удлинений обеих пружин:

Из этих соотношений получим

 

Таким образом, совпали формы записей дифференциальных уравнений движения по основ­ному (уравнения Лагранжа) и прямому способам, а уравнения, полученные обратным способом, отличаются от них по форме. Это связано с тем, что при нашем выборе обобщённых координат кинетическая энергия имеет каноническую форму:

,

т.е. не содержит произведений скоростей

 при
. При этом каждое из уравнений Ла­гранжа содержит только по одному обобщённому ускорению, как и при использовании прямого способа. Если обобщённые координаты выбрать так, чтобы потенциальная энергия имела кано­ническую форму

,

то уравнения Лагранжа совпали бы с уравнениями, полученными обратным способом.             

Сопоставляя полученные варианты записей по прямому и обратному способам, можно сде­лать следующее общее заключение: при составлении системы уравнений по прямому способу

 при
, а при составлении по обратному способу
 при
.

Таким образом, пользуясь прямым способом, приходим в общем случае к системе:

            
,                              (33)

а применяя обратный способ - к системе:

            
.                             (34)

Принципиально важно, что специальным выбором обобщённых координат можно одновре­менно придать каноническую форму как кинетической, так и потенциальной энергии. Такие ко­ординаты

 называются нормальными, или главными. При этом

,  

и уравнения Лагранжа принимают вид

         
                                  (35)

Каждое из уравнений (35) интегрируется независимо от других. Иначе говоря, при использо­вании нормальных координат система представляет собой как бы совокупность независимых парциальных систем с одной степенью свободы.




Содержание  Назад  Вперед