Теоретические основы динамики машин

          

Метод последовательных приближений


Докажем, что обычный процесс последовательных приближений приводит к первой собственной форме колебаний. Основой процесса является сравнение двух кривых аn и аn+1, из которых вторая получается как линия прогибов, вызванных нагрузкой man; при этом приближенное значение квадрата частоты определяется по формуле

Метод последовательных приближений
.                                             (280)

Подобно выражению (265) представим исходную кривую

Метод последовательных приближений
 в виде ряда

Метод последовательных приближений
                           (281)

Тогда нагрузка, соответствующая прогибам

Метод последовательных приближений
, такова:

Метод последовательных приближений
                              (282)

Рассмотрим одно из слагаемых этой нагрузки -

Метод последовательных приближений
. От нагрузки
Метод последовательных приближений
 прогибы будут
Метод последовательных приближений
, поэтому от нагрузки
Метод последовательных приближений
 прогибы будут в
Метод последовательных приближений
 раз больше, т.е. составят
Метод последовательных приближений
. Следовательно, кривая прогибов от суммарной нагрузки определяется рядом

Метод последовательных приближений
                     (283)

который отличается от ряда (282) тем, что каждый член ряда разделен на квадрат соответствующей частоты. Так как

Метод последовательных приближений
 то кривая
Метод последовательных приближений
 ближе к
Метод последовательных приближений
, чем исходная кривая
Метод последовательных приближений
; члены ряда, содержащие
Метод последовательных приближений
,
Метод последовательных приближений
 и искажающие основную форму
Метод последовательных приближений
, представлены в ряде (283) слабее, чем в ряде (281). Продолжая процесс дальше, получим для

Метод последовательных приближений
 кривой

Метод последовательных приближений
.                (284)

Как видно, при

Метод последовательных приближений
 высшие формы исчезают; следовательно, какой бы ни была выбрана исходная кривая (например, даже очень похожей на вторую собственную форму), процесс в конечном итоге приведет именно к первой собственной форме.

Поэтому может показаться, что попытка построить вторую собственную форму при помощи этого метода обречена на неудачу, так как всякое искажение, вносимое первой формой в приближенную вторую форму, будет постепенно увеличиваться; после большого числа построений второй тип колебаний совершенно исчезнет, и останется лишь первый тип.

Однако несколько видоизменяя метод, можно добиться того, что в результате последовательных приближений «очистится» не первая, а именно вторая собственная форма колебаний. Этот прием нашел практическое применение при расчете изгибных колебаний крыльев самолетов и лопаток турбин.

Прием основан на устранении формы

Метод последовательных приближений
 из исходной функции
Метод последовательных приближений
.
Допустим, что в разложении (281) отсутствует слагаемое, соответствующее первой форме, тогда оно не сможет возникнуть при всех последующих операциях, и ряд (284) принимает вид

Метод последовательных приближений


При
Метод последовательных приближений
 исчезнут все формы колебаний, кроме второй. Чтобы процесс последовательных приближений привел именно ко второй форме, нужно из исходной функции
Метод последовательных приближений
 исключить первую собственную форму
Метод последовательных приближений
. Это можно сделать, приняв в качестве основы для построения второго приближения функцию

Метод последовательных приближений
                                    (285)

где
Метод последовательных приближений
 - «подходящая» функция;
Метод последовательных приближений
 - предварительно найденная первая собственная форма.

Коэффициент
Метод последовательных приближений
 следует принять таким, чтобы форма
Метод последовательных приближений
 была ортогональна первой собственной форме
Метод последовательных приближений
:

         
Метод последовательных приближений


Подставляя сюда (285), получим

Метод последовательных приближений


Далее от нагрузки
Метод последовательных приближений
 следует определить прогибы
Метод последовательных приближений
. Если при помощи  (285) первая форма
Метод последовательных приближений
 исключена совершенно точно, то функция
Метод последовательных приближений
 будет ближе ко второй форме, а последующие операции обеспечат сколь угодно близкое приближение к
Метод последовательных приближений
.

Однако первая собственная форма может быть известна лишь приближенно, поэтому операция, заключенная в (285), не гарантирует полного освобождения от первой формы
Метод последовательных приближений
. В связи с этим при продолжении процесса нужно снова исправить функцию
Метод последовательных приближений
 и принять

Метод последовательных приближений
                                  (286)

где  коэффициент
Метод последовательных приближений
 также определяется условием ортогональности

функций
Метод последовательных приближений
 и
Метод последовательных приближений
:

Метод последовательных приближений


которое после подстановки  (286) дает

Метод последовательных приближений


Затем следует определить кривую
Метод последовательных приближений
 от нагрузки
Метод последовательных приближений
, вновь исправить ее по формуле:

Метод последовательных приближений
  и т.д.

В таком процессе последовательных приближений ортогонализация сопровождает каждый шаг выкладок и, непрерывно вытесняя «примесь» первой формы, приведет ко второй собственной форме и второй частоте, которая, подобно (280), определится формулой

Метод последовательных приближений


Таким же образом при помощи сопровождающей ортогонализации можно определить третью собственную форму и третью частоту и т.д.


Содержание раздела