Метод последовательных приближений
Докажем, что обычный процесс последовательных приближений приводит к первой собственной форме колебаний. Основой процесса является сравнение двух кривых аn и аn+1, из которых вторая получается как линия прогибов, вызванных нагрузкой man; при этом приближенное значение квадрата частоты определяется по формуле

Подобно выражению (265) представим исходную кривую


Тогда нагрузка, соответствующая прогибам


Рассмотрим одно из слагаемых этой нагрузки -







который отличается от ряда (282) тем, что каждый член ряда разделен на квадрат соответствующей частоты. Так как









Как видно, при

Поэтому может показаться, что попытка построить вторую собственную форму при помощи этого метода обречена на неудачу, так как всякое искажение, вносимое первой формой в приближенную вторую форму, будет постепенно увеличиваться; после большого числа построений второй тип колебаний совершенно исчезнет, и останется лишь первый тип.
Однако несколько видоизменяя метод, можно добиться того, что в результате последовательных приближений «очистится» не первая, а именно вторая собственная форма колебаний. Этот прием нашел практическое применение при расчете изгибных колебаний крыльев самолетов и лопаток турбин.
Прием основан на устранении формы


Допустим, что в разложении (281) отсутствует слагаемое, соответствующее первой форме, тогда оно не сможет возникнуть при всех последующих операциях, и ряд (284) принимает вид

При




где


Коэффициент




Подставляя сюда (285), получим

Далее от нагрузки





Однако первая собственная форма может быть известна лишь приближенно, поэтому операция, заключенная в (285), не гарантирует полного освобождения от первой формы



где коэффициент

функций



которое после подстановки (286) дает

Затем следует определить кривую



В таком процессе последовательных приближений ортогонализация сопровождает каждый шаг выкладок и, непрерывно вытесняя «примесь» первой формы, приведет ко второй собственной форме и второй частоте, которая, подобно (280), определится формулой

Таким же образом при помощи сопровождающей ортогонализации можно определить третью собственную форму и третью частоту и т.д.