Теоретические основы динамики машин

          

Крутильные колебания валов


Рассмотрим крутильные колебания многомассовой системы (рис. 26), которая является обще­принятой эквивалентной схемой для расчёта крутильных колебаний коленчатых валов. Колен­чатый вал приводится к эквивалентной схеме путём следующих замен: момент инерции заме­няющего диска относительно оси вала должен быть равен моменту инерции колена относи­тельно той же оси, при этом учитывается присоединённая масса шатуна; жёсткость на кручение участка заменяющего вала должна быть равна жёсткости на кручение соответствующего участка коленчатого вала.

Крутильные колебания валов

Рис. 26

Эти замены являются неплохой аппроксимацией, хотя и не обеспечивают полной эквивалент­ности обеих схем. Приведенный момент инерции масс колена и шатуна изменяется в процессе вращения коленчатого вала, поэтому замена колена диском с постоянным моментом инерции не является строгой. Кроме того, при действии на коленчатый вал двух противоположно направ­ленных пар деформация будет заключаться не только в закручивании участка между парами: вследствие изгиба произойдёт закручивание и других участков.

Тем не менее экспериментальные исследования подтверждают приемлемость эквивалентной схемы при достаточно тщательном определении эквивалентных моментов инерции и особенно эквивалентных жёсткостей.

Обозначим через

Крутильные колебания валов
 моменты инерции масс дисков относительно продольной оси вала;
Крутильные колебания валов
- коэффициенты жёсткости участков при кручении;
Крутильные колебания валов
- углы по­воротов дисков вокруг продольной оси вала (рис. 26,а).

Крутильные моменты, действующие в сечениях вала, зависят от взаимного поворота двух смежных дисков и определяются формулами

на первом участке

Крутильные колебания валов
;

на втором участке

Крутильные колебания валов
;

Крутильные колебания валов

на

Крутильные колебания валов
- м участке

Крутильные колебания валов

Уравнения движения удобнее всего составлять прямым способом (рис. 26,б).

Крутильные колебания валов
                    (65)

Число этих уравнений

Крутильные колебания валов
совпадает с числом дисков, т.е. с числом степеней свободы сис­темы.

Одним из решений системы (65) является

Крутильные колебания валов
,                                          (66)

описывающее равномерное вращение вала и дисков как жёсткого целого.


Кроме того, возможно решение, описывающее упругие колебания системы

Крутильные колебания валов
                                                 (67)

Подставляя (67) в (65), получим

Крутильные колебания валов
           (68)

Система уравнений (68) содержит
Крутильные колебания валов
 неизвестных: n амплитуд и частоту колебаний
Крутильные колебания валов
.

Если преобразовать систему (68) и рассматривать её как однородную систему линейных ал­гебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд
Крутильные колебания валов
, то ненулевое её решение можно получить, как это неоднократно делалось выше, из условия равенства нулю оп­ределителя. Раскрывая определитель, получим частотное уравнение.

Для иллюстрации сказанного запишем систему (68) в преобразованном виде при
Крутильные колебания валов


Крутильные колебания валов


Отсюда получим частотный определитель

Крутильные колебания валов
                       (69)

и частотное уравнение

Крутильные колебания валов
.                   (70)

В общем случае степень частотного уравнения относительно
Крутильные колебания валов
 равна n. Один из корней все­гда равен нулю и соответствует повороту всех дисков и вала как жёсткого целого. Остальные
Крутильные колебания валов
 корней (собственных частот) соответствуют упругим колебаниям.

При
Крутильные колебания валов
 решение частотного уравнения представляет значительные трудности. Но цепная структура уравнений (68) позволяет упростить определение собственных частот при помощи метода последовательных приближений (метода остатков). Суть метода состоит в следующем. Принимая
Крутильные колебания валов
 и  задаваясь ориентировочным значением
Крутильные колебания валов
, из первого уравнения системы (68) находят амплитуду
Крутильные колебания валов
; из второго уравнения системы можно определить амплитуду
Крутильные колебания валов
, из третьего уравнения - амплитуду
Крутильные колебания валов
 и, наконец, из предпоследнего уравнения - амплитуду
Крутильные колебания валов
. Если в последнее уравнение системы (68) подставить вычисленные значения
Крутильные колебания валов
 и
Крутильные колебания валов
, то оно, вообще говоря, не будет удовлетворяться вследствие произвольности исходного значения
Крутильные колебания валов
 (которое, по сути, является первым приближением). Полученное значение левой части (остаток) характеризует меру неточности первого приближения
Крутильные колебания валов
 и одновременно показывает, в какую сторону нужно изменить расчётное значение
Крутильные колебания валов
 во втором приближении.

Далее производят повторный расчёт при новом значении
Крутильные колебания валов
. Знак и величина нового остатка помогут указать необходимую поправку в значении
Крутильные колебания валов
 для следующего приближения.


Расчёт повторяется до тех пор, пока не будет достигнут удовлетворительный результат в последнем уравнении.

При реализации метода удобнее всего использовать компактную табличную схему вычисле­ний, основанную на соотношениях типа

Крутильные колебания валов
,                  (71)

которые получаются из уравнений (68) после сложения первых i уравнений системы. Соотно­шение (71) выражает равенство крутящего момента в сечении i-го участка вала (левая часть) сумме моментов сил инерции всех расположенных слева дисков (правая часть).

Задаваясь значением
Крутильные колебания валов
 и принимая
Крутильные колебания валов
, находим из соотношения (71) для
Крутильные колебания валов
:

Крутильные колебания валов
.

Далее из того же соотношения для
Крутильные колебания валов
:

Крутильные колебания валов
.

Общая формула имеет вид

Крутильные колебания валов
.

Процесс продолжается таким образом до
Крутильные колебания валов
- го уравнения. После определения из него
Крутильные колебания валов
 можно переходить к последнему уравнению и вычислять его левую часть. Этот результат дол­жен быть равен нулю, так как если сложить все уравнения типа (71), то должно получиться

Крутильные колебания валов
.

   Вследствие неточности принятого исходного значения
Крутильные колебания валов
 нуля в результате не получится. Ос­таток выражает неуравновешенный момент, который при точном выборе
Крутильные колебания валов
 должен быть равен нулю.

После нескольких расчётов такого типа (при разных значениях
Крутильные колебания валов
) можно построить кривую зависимости остатка R от
Крутильные колебания валов
 (рис.27).

Крутильные колебания валов


Рис. 27

Точки пересечения кривой с осью абсцисс соответствуют истинным значениям частот.

Объём вычислений может быть значительно уменьшен, если известны ориентировочные зна­чения частот, для определения которых часто используют замену заданной системы упрощён­ной трехмассовой системой.

При записи решения (67) предполагалось, что колебания являются одночастотными, т.е. для любого диска описываются одной гармоникой

Крутильные колебания валов
.

Существование спектра частот
Крутильные колебания валов
 требует обобщения решения (67) и записи его в виде

Крутильные колебания валов
  
Крутильные колебания валов
,

где первый индекс у амплитуды означает номер диска, а второй индекс - номер соответствую­щей частоты.

Для получения общего решения необходимо также учесть возможность вращения всей сис­темы как жёсткого целого (что соответствует частоте
Крутильные колебания валов
), т.е.


добавить слагаемое вида (66), и тогда общее решение уравнений движения (65)

Крутильные колебания валов
Крутильные колебания валов
 (72)

Уравнения (72) содержат 2n неизвестных:
Крутильные колебания валов
 неизвестных амплитуд колебаний первого диска
Крутильные колебания валов
;
Крутильные колебания валов
 неизвестных начальных фаз
Крутильные колебания валов
; угловое смеще­ние
Крутильные колебания валов
 и угловую скорость
Крутильные колебания валов
. Амплитуды колебаний всех остальных дисков
Крутильные колебания валов
 определяются через амплитуды составляющих колебаний первого диска
Крутильные колебания валов
; отношения
Крутильные колебания валов
 зависят от но­мера частоты k и определяют соответствующие формы колебаний.

Таким образом, для полного решения задачи необходимо и достаточно указать 2n начальных условий - угловые смещения и угловые скорости всех n дисков.

При произвольно заданных начальных условиях колебания каждого диска будут многочастот­ными, т.е. будут представлять собой сумму гармоник. Если начальные условия смещения соот­ветствуют одной из собственных форм колебаний, то в дальнейшем процессе будут реализованы эта и только эта собственная форма и соответствующая собственная частота. В общем случае колебания будут носить сложный характер и представлять собой совокупность n форм колеба­ний. Относительное значение каждого из них зависит от близости заданной системы начальных смещений к той или иной собственной форме.


Содержание раздела