Изгибные колебания пластинок можно рассматривать независимо от их колебаний в своей плоскости. В отличие от этого при колебаниях оболочек изгиб стенки связан, как правило, с растяжением срединной поверхности. Потенциальная энергия деформации оболочки выражается формулой
где
(340)
(341)
Величина
представляет собой энергию растяжения оболочки,
- энергию ее изгиба;
- компоненты деформации срединной поверхности;
- параметры изменения ее кривизны. Интегрирование в (340) и (341) выполняется по всей срединной поверхности
оболочки. Величины
,
по известным формулам выражаются через компоненты амплитудного перемещения
точек оболочки.
Амплитудное значение кинетической энергии движения оболочки, совершающей гармонические колебания с частотой
,
Частота колебаний определяется формулой Рэлея
(342)
Числитель и знаменатель дроби (342) зависят от выбора функции перемещений
. При этом истинные формы собственных колебаний сообщают выражению (342) стационарные значения, а первая собственная форма - минимум. Обозначим характерный размер оболочки и характерную толщину через
и
соответственно. Тогда (342) можно записать так:
(343)
где
Величины
и
являются безразмерными и зависят от вида амплитудных функций
. Второе слагаемое в (343), соответствующее энергии изгиба оболочки, имеет малый множитель
, поэтому при минимизации
наиболее существенно уменьшение
, т.е. слагаемого, соответствующего энергии растяжения срединной поверхности.
Если геометрия оболочки и условия ее закрепления это допускают, то наименьшие значения частот отвечают такому выбору функций
, при котором
Но требование
может быть выполнено только при
, т.е. при отсутствии растяжения срединной поверхности. Такой вид деформации оболочек называется чистым изгибанием.
