Изгибные колебания балок

Рассмотрим случай, когда возмущающая нагрузка задана в виде сосредоточенной силы

                                           (305)

или комбинации нескольких нагрузок того же вида с одинаковой частотой. Решение для прогибов будем искать в виде

                                     (306)

сводя задачу к определению формы колебаний (кривой амплитуд прогибов)

.

В случае

, подставляя в (192)  (306), получим

                                            (307)

Решение дифференциального уравнения (307) имеет вид

                                 (308)

где

 - функции Крылова (198), в которых вместо (196) нужно принять

Для определения постоянных

, входящих в общее решение (308), необходимо использовать граничные условия. Рассмотрим два случая, которые не освещались при расчете на свободные колебания.

1.Возмущающая сила

 приложена на конце балки. Поперечная сила в сечении должна быть равна этой силе

и граничное условие принимает вид

где знак «+» соответствует силе, приложенной к правому концу, знак «-» - силе, приложенной к левому концу. Кроме того,

.

2. Возмущающая сила

 приложена в промежуточном сечении балки.

В этом сечении должны выполняться четыре условия сопряжения:

где  а - абсцисса сечения, в котором приложена возмущающая сила; индексы «-» и «+» соответствуют сечениям, расположенным бесконечно близко слева и справа от сечения а.

Первые три условия обозначают непрерывность прогиба, угла поворота сечения и изгибающего момента в точке приложения возмущающей силы; четвертое условие выражает разрыв функции поперечной силы в указанном сечении на величину

.

Приведенные выше рассуждения представляют собой непосредственное решение задачи. Теперь рассмотрим другой способ - разложение решения в ряд по собственным функциям.

В общем случае, когда возмущающая поперечная нагрузка задана произвольным законом

дифференциальное уравнение движения приобретает вид

                                    (309)

т.е. отличается от аналогичного уравнения при свободных колебаниях наличием правой части.

Как и выше, представим  в виде ряда

                          (310)

Также в виде ряда будем искать решение для прогиба

                            (311)

Для определения функций времени  умножим обе части равенства (310) на   и проинтегрируем результат по всей длине балки. Вследствие ортогональности собственных функций в правой части при этом остается только одно слагаемое, соответствующее номеру , так что

                                        (312)

Эта формула совпадает по записи с (301), выведенной выше для продольных колебаний, но в  (312)  представляет собой собственные формы задачи о свободных колебаниях балки («балочные функции»). Поэтому здесь также справедлива формула (303), относящаяся к случаю сосредоточенных возмущающих сил.

Учитывая, что каждое слагаемое ряда (310) вызывает движение, описываемое соответствующим слагаемым ряда (311), можно записать уравнение (309) в виде



Разделив обе части на , получим



Левая часть этого равенства равна , поэтому



Отсюда получим дифференциальное уравнение для



Общее решение этого уравнения имеет вид

                           (313)

Изложенный способ позволяет получить решения и в случаях переменного сечения, если заранее найдены собственные формы  и собственные частоты .


Содержание раздела

---

---