Формула Донкерлея
Так как метод Рэлея приводит к завышенному значению частоты колебаний, то весьма полезным является применение метода (формулы), дающего заниженное значение низшей частоты колебаний. Простейшей из такого рода формул является формула Донкерлея.
Рассмотрим какую-либо многомассовую систему, например балку (рис.74,а). Пусть на этом рисунке изображена точная форма собственных колебаний системы.
Рис. 74
Тогда точное значение собственной частоты системы выражается формулой
Теперь рассмотрим ту же балку, но только с одной массой mi
(рис.74, б). В этом случае частота колебаний будет определяться по формуле
где dii - податливость балки при приложении силы в точке расположения массы mi .
С другой стороны, приближённое значение wi той же частоты можно определить по формуле Рэлея, считая, что форма колебаний совпадает с изображённой на рис.74,а
Здесь По и xi имеют те же значения, что и в (275).
Так как форма, изображённая на рис.74,a, не является точной формой колебаний одномассовой системы, то выполняется неравенство:
Сравнивая (275) и (276), находим
Eсли в правой части полученного равенства заменить
Таким образом, приближенная формула Донкерлея всегда дает преуменьшенное значение частоты:
Рассчитав частоту одной и той же системы по методу Рэлея и формуле Донкерлея, получим вилку, в которой заключено истинное значение частоты колебаний.
