Теоретические основы динамики машин

          

Действие непериодической возмущающей силы


1. Действие линейно возрастающей силы (рис.38,а)

Используем выражение (91), полагая

Действие непериодической возмущающей силы

Действие непериодической возмущающей силы

График этого движения показан на рис.38,б.

Действие непериодической возмущающей силы
Рис. 38

Перемещения нарастают по сложному закону, представляющему собой сумму синусоиды и линейной функции. Дополнительное синусоидальное колебание тем существеннее, чем быстрее нарастает сила F, т.е. чем больше а.

Колебания подрессоренного груза при движении по неровной дороге (рис.39)

Пусть профиль дороги задан уравнением

Действие непериодической возмущающей силы
=h(1-
Действие непериодической возмущающей силы
),

где h - предел, к которому стремится высота профиля;

Действие непериодической возмущающей силы
- параметр, характеризующий кривизну профиля.

Действие непериодической возмущающей силы

Рис. 39

Обозначим  через V скорость движения груза массой m и примем начало отсчёта времени в мгновение, когда опорная точка проходит начало неровности. Тогда х=Vt и движение опорной точки по вертикали определяется законом

Действие непериодической возмущающей силы
).

Дифференцируя, находим

Действие непериодической возмущающей силы
.

На основании  (92) получим закон движения груза по вертикали:

Z=f(t)-

Действие непериодической возмущающей силы
.

Так как важным является не абсолютное изменение положения груза, а его колебания относительно опорной точки, то рассмотрим разность, определяющую дополнительную деформацию пружины

Действие непериодической возмущающей силы
Действие непериодической возмущающей силы

Действие непериодической возмущающей силы
.
Действие непериодической возмущающей силы

Интегрируя, находим

Действие непериодической возмущающей силы
Действие непериодической возмущающей силы
,

где

Действие непериодической возмущающей силы
 определяется соотношением

Действие непериодической возмущающей силы
.

Отсюда следует, что при весьма малой скорости параметр

Действие непериодической возмущающей силы
  стремится к
Действие непериодической возмущающей силы
, а разность z-f - к нулю. Наоборот, при весьма большой скорости (а также при весьма большом значении параметра
Действие непериодической возмущающей силы
) параметр
Действие непериодической возмущающей силы
стремится к нулю, и колебания приближённо описываются законом

Действие непериодической возмущающей силы

2. Действие медленно изменяющихся сил

Рассмотрим полученное выше решение задачи о вынужденных колебаниях (91). Первое слагаемое представляет собой статическое отклонение, вызванное силой F(t). Второе слагаемое - это поправка к статическому отклонению, причём эта поправка зависит от скорости изменения силы

Действие непериодической возмущающей силы
.

При малой скорости нарастания внешней нагрузки динамическая поправка к статическому решению относительно мала и нагружение практически можно рассматривать как статическое.

А.Н.Крылов дал оценку динамической поправки для общего случая возмущающей силы. Если кривая F(t) имеет один максимум (рис.40,а), то, обозначая максимальное значение

Действие непериодической возмущающей силы
 через
Действие непериодической возмущающей силы
(рис.40,б), имеем


Действие непериодической возмущающей силы
.

Произведение 
Действие непериодической возмущающей силы
   представляет собой максимально возможное приращение возмущающей силы за промежуток времени, равный полупериоду свободных колебаний; обозначая это произведение через
Действие непериодической возмущающей силы
Fmax, получим

Действие непериодической возмущающей силы
.

Действие непериодической возмущающей силы


Рис. 40

Если сила возрастает равномерно в течение времени t0, то
Действие непериодической возмущающей силы
 и динамическая "добавка" составляет

Действие непериодической возмущающей силы
.

Её относительная величина

Действие непериодической возмущающей силы
.

Отсюда следует, что если период свободных колебаний мал по сравнению с продолжительностью действия силы, то она может считаться медленно изменяющейся, а  её действие можно рассчитывать без учёта динамичности, т.е. считать силу приложенной статически.

3. Действие быстро исчезающих сил

Пусть возмущающая нагрузка действует в течение весьма короткого промежутка времени. Даже значительная нагрузка может оказаться  безопасной, если длительность её действия мала по сравнению с периодом свободных колебаний системы.

Рассмотрим действие силы F, которая внезапно прикладывается в момент времени t=0, действует в течение некоторого промежутка времени а, а затем также внезапно исчезает. Можно показать, что если a<
Действие непериодической возмущающей силы
, то максимальное отклонение системы достигается после исчезновения силы. В таком случае для t>à, согласно решению (89), имеем

                               
Действие непериодической возмущающей силы
.                 (93)

Обозначим отношение промежутка времени а к периоду свободных колебаний Т через
Действие непериодической возмущающей силы
, тогда

Действие непериодической возмущающей силы
.

Максимальное отклонение  в соответствии с (93):

Действие непериодической возмущающей силы
.

Следовательно, динамический коэффициент:

Действие непериодической возмущающей силы
Действие непериодической возмущающей силы


Значения динамического коэффициента
Действие непериодической возмущающей силы
Действие непериодической возмущающей силы
при действии силы малой продолжительности приведены в табл. 5.

                                                                                                 Таблица 5

Действие непериодической возмущающей силы


0

0,01

0,02

0,03

0,05

0,10

0,15

0,25

0,5

Действие непериодической возмущающей силы


0

0,062

0,126

0,188

0,313

0,618

0,908

1,413

2,000

Из приведенной таблицы видно, что если сила действует в течение малой доли периода свободных колебаний, то эффект такой кратковременной силы во много раз меньше статического. Аналогичный вывод можно сделать и в случае, когда возмущающая сила представляет собой одну половину синусоиды.



Покажем, что действие кратковременной силы приближённо можно оценить её импульсом. Для t>à решение имеет вид

Действие непериодической возмущающей силы
,

или

Действие непериодической возмущающей силы
=

=
Действие непериодической возмущающей силы
.

Но так как отношение
Действие непериодической возмущающей силы
  меньше отношения
Действие непериодической возмущающей силы
, то
Действие непериодической возмущающей силы
 есть малое число.

Тогда приближённо можно записать

Действие непериодической возмущающей силы
.

Входящий сюда интеграл есть импульс силы F(t), т.е. движение системы определяется величиной импульса кратковременной силы, причём подробности изменения силы за промежуток времени а не играют роли.


Содержание раздела