Теоретические основы динамики машин

          

Действие гармонической силы


Случай, когда возмущающая сила изменяется по гармоническому закону

F=F0  sin pt,                                            (94)

где  F0 - амплитуда силы; p - её частота, является наиболее распространённым в практике.

Описание колебательного процесса, вызываемого такой силой, при нулевых начальных условиях можно получить при помощи  (89)

Действие гармонической силы
.                                   (95)

Вычисляя интеграл, при

Действие гармонической силы
  находим                   

Действие гармонической силы
.                              (96)

Заменим

Действие гармонической силы
 и обозначим
Действие гармонической силы
 (прогиб, вызванный статически приложенной постоянной силой F0 ), тогда

Действие гармонической силы
.                                (97)

Из (97) следует, что при нулевых начальных условиях возникают сложные колебания, состоящие из двух частей: колебаний, происходящих с частотой p возмущающей силы, и колебаний, происходящих с собственной частотой

Действие гармонической силы
. Обычно первые колебания называют вынужденными, а вторые - свободными. Такая терминология является условной. Дело в том, что и вторые колебания вызваны действующей возмущающей силой, и их амплитуда зависит от этой силы; в этом смысле вторые колебания также являются вынужденными. Указанные наименования получили широкое распространение потому, что первое слагаемое имеет частоту возмущающей силы, а второе меняется с собственной частотой системы.

Составляющая, названная выше свободными колебаниями, быстро исчезает, поэтому достаточно ограничиться изучением стационарной, незатухающей части решения

Действие гармонической силы
 .                                            (98)

Амплитуда вынужденных колебаний

Действие гармонической силы
                                                 (99)

отличается от прогиба

Действие гармонической силы
, подсчитанного в предположении статического действия силы F0. Отношение
Действие гармонической силы
 можно назвать динамическим коэффициентом

Действие гармонической силы
 .                                                (100)

Динамический коэффициент

Действие гармонической силы
 зависит только от отношения частот
Действие гармонической силы
. На рис.41,a приведена кривая зависимости
Действие гармонической силы
от отношения
Действие гармонической силы
.

Действие гармонической силы

Рис.  41

При малой частоте возмущающей силы динамический коэффициент близок к единице. С ростом частоты p динамический коэффициент быстро увеличивается и при

Действие гармонической силы
 обращается в бесконечность.
Это соответствует состоянию резонанса, когда амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности (если учесть силы неупругого сопротивления, то амплитуда при резонансе окажется хотя и ограниченной, но обычно настолько значительной, что состояние резонанса всё равно следует считать опасным).

   Если частота p больше собственной частоты 
Действие гармонической силы
, то амплитуды становятся конечными; при
Действие гармонической силы
 динамический коэффициент становится меньше единицы, т.е. динамический эффект слабее соответствующего статического эффекта. При очень больших значениях отношения
Действие гармонической силы
 динамический коэффициент становится весьма малым. Это означает, что сила высокой частоты не вызывает ощутимых колебаний в упругой низкочастотной системе, которая как бы "не успевает" отзываться на быстрые изменения возмущающей силы.

В приведенных рассуждениях считалось, что амплитудное значение возмущающей силы не связано с её частотой. Однако чаще бывает обратное, например, при вращении неуравновешенного ротора на опоры передаётся возмущающая сила

Действие гармонической силы
,

где
Действие гармонической силы
- масса ротора; e- её эксцентриситет;
Действие гармонической силы
- угловая скорость.

В данном случае амплитуда возмущающей силы
Действие гармонической силы
Действие гармонической силы
пропорциональна квадрату
Действие гармонической силы
, и вместо решения (96) при
Действие гармонической силы
 следует принимать

Действие гармонической силы
.

Амплитуда стационарных колебаний при этом определяется выражением

Действие гармонической силы
,
Действие гармонической силы


в котором параметр системы
Действие гармонической силы
 не зависит от частоты p.

На рис.41,б представлено изменение амплитуды колебаний в зависимости от отношения
Действие гармонической силы
.

Как видно, при
Действие гармонической силы
 имеет место резонанс, а при p»
Действие гармонической силы
амплитуда стремится к значению
Действие гармонической силы
.

Остановимся подробнее на случае совпадения частот
Действие гармонической силы
(резонанс).

Действие гармонической силы


Рис. 42

При этом интеграл (95) принимает вид

Действие гармонической силы
.

После вычисления получим

Действие гармонической силы
.

График этого движения показан на рис.42. Как видно, при совпадении частот амплитуда нарастает по линейному закону и за конечный промежуток времени не обращается в бесконечность. Из этого вытекает принципиальная возможность перехода через резонанс, так как  в процессе разгона двигателей равенство
Действие гармонической силы
 выполняется лишь одно мгновение и амплитуды при переходе могут не достигнуть опасных величин.


Содержание раздела