Действие двух гармонических сил с близкими частотами биения
Если система с одной степенью свободы испытывает действие двух различных гармонических возмущающих сил, то вследствие её линейности суммарный эффект может быть определён путём сложения эффектов, вызываемых каждой из сил. Так, возмущающая сила вида
вызовет сложные колебания
. (101)
Если частоты
и
близки одна к другой, то суммарное движение принимает своеобразный характер и называется биением (рис.43,a). Особенностью биений является периодическое изменение амплитуды колебаний. Для анализа этого явления преобразуем сначала решение (101).
=
,
или
, (102)
где
Обозначая
, (102) перепишем в виде
.
Вследствие того, что частоты
близки друг другу, величины
,
и
меняются медленно. Таким образом, движение можно описать выражением
,
где
- среднее значение частоты;
- медленно меняющаяся амплитуда колебаний;
- медленно меняющаяся фаза.
Итак, движение будет носить почти синусоидальный характер, причём амплитуда колебаний А есть медленно изменяющаяся функция времени. Период изменения амплитуды А (период биений) составляет
TA=
.
Так как разность
мала, то период ТА значительно больше периода колебаний
.
Биения могут возникнуть и при действии одной возмущающей силы
вблизи резонанса, когда частота p близка к собственной частоте
. Из решения (96) видно, что в данном случае колебания состоят из двух гармоник с близкими частотами p и
. Преобразования, подобные выполненным выше, приводят к выводу, что и здесь суммарные колебания носят синусоидальный характер с переменной амплитудой. Однако этот процесс не является стационарным; свободные колебания вследствие затухания постепенно исчезают, и остаются только вынужденные колебания, так что биения прекращаются (рис.43,б).
