Регулярные выражения и языки

Регулярные выражения являются достаточно удобным средством для построения "алгебраических" описаний языков. Они строятся из элементарных выражений

, ?, a ? с помощью операций объединения (+), конкатенации (?) и итерации (*). Каждому такому выражению r соответствует представляемый им язык Lr. Смысл операции объединения языков мы знаем. Определим операции конкатенации и итерации (иногда ее называют замыканием Клини).

Пусть L1 и L2 - языки в алфавите ?.

Тогда L= L1 ? L2= { w | (

w1 L1) ( w2 L2) (w = w1w2)}, т.е. конкатенация языков состоит из конкатенаций всех слов первого языка со всеми словами второго языка. В частности, если ? L1, то L2 L, а если ? L2, то L1 L.

Введем обозначения для "степеней" языка L:

Таким образом в Li входят все слова, которые можно разбить на i подряд идущих слов из L.

Итерацию (L)* языка L образуют все слова которые можно разбить на несколько подряд идущих слов из L:

Ее можно представить с помощью степеней:

Часто удобно рассматривать "усеченную" итерацию языка, которая не содержит пустое слово, если его нет в языке:

. Это не новая операция, а просто удобное сокращение для выражения .

Отметим также, что если рассматривать алфавит ?={a1, … , am} как конечный язык, состоящий из однобуквенных слов, то введенное ранее обозначение ?* для множества всех слов, включая и пустое, в алфавите ? соответствует определению итерации ?^* этого языка.

В следующей таблице приведено формальное индуктивное определение регулярных выражений над алфавитом ? и представляемых ими языков.

Выражениеr ЯзыкLr

	L =
?	L_?={?}
a ?	La={a}
Пустьr1иr2-это	Lr1иLr2-представляемые
регулярные выражения.	ими языки.
Тогда следующие выражения
являются регулярными	и представляют языки:
r=(r1+r2)	Lr=Lr1 Lr2
r=(r1circr2)	Lr=Lr1?Lr2
r=(r1)*	Lr=Lr1*

При записи регулярных выражений будем опускать знак конкатенации ? и будем считать, что операция * имеет больший приоритет, чем конкатенация и +, а конкатенация - больший приоритет, чем +. Это позволит опустить многие скобки.
Например, (((1?0)?((1)*+0)) можно записать как 10(1* + 0).

Определение 5.1.

Два регулярных выражения r и p называются эквивалентными, если совпадают представляемые ими языки, т.е. Lr=Lp. В этом случае пишем r = p.

Нетрудно проверить, например, такие свойства регулярных операций:

• r + p= p+ r (коммутативность объединения),
• (r+p) +q = r + (p+q) (ассоциативность объединения),
• (r p) q = r (p q) (ассоциативность конкатенации),
• (r*)* = r* (идемпотентность итерации),
• (r +p) q = rq + pq (дистрибутивность).

Пример 5.1.

Докажем в качестве примера не столь очевидное равенство: (r + p)* = (r*p*)*.

Пусть L1 - язык, представляемый его левой частью, а L2 - правой. Пустое слово ? принадлежит обоим языкам. Если непустое слово w L1, то по определению итерации оно представимо как конкатенация подслов, принадлежащих языку Lr Lp. Но этот язык является подмножеством языка L'=Lr*Lp* (почему?). Поэтому w L2 = (L')*. Обратно, если слово w L2, то оно представимо как конкатенация подслов, принадлежащих языку L'. Каждое из таких подслов v представимо в виде v= v11… vk1 v12… vl2, где для всех i=1, … , k подслово vi1 Lr и для всех j=1, … , l подслово vj2 Lp (возможно, что k или l равно 0). Но это значит, что w является конкатенацией подслов, каждое из которых принадлежит Lr Lp и, следовательно, w L1.

Рассмотрим несколько примеров регулярных выражений и представляемых ими языков.

Пример 5.2. Регулярное выражение (0 +1)* представляет множество всех слов в алфавите {0, 1}.

Пример 5.3. Регулярное выражение 11(0 +1)*001 представляет язык, состоящий из всех слов в алфавите {0, 1}, которые начинаются на '11', а заканчиваются на '001'.

Пример 5.4. Регулярное выражение (1 +01 +001)*(? + 0 +00) представляет язык, состоящий из всех слов в алфавите {0, 1}, которые не содержат подслово '000' ( см. задачу 5.3).

Пример 5.5. Регулярное выражение 1*(01*01*)* представляет язык L0ч, состоящий из всех слов в алфавите {0, 1}, в которых четное число нулей.

Действительно, каждое слово из L0ч либо вообще не содержит нулей, т.е.


входит в язык, представляющий 1*, либо может быть разбито на блоки вида 01i01j, i,j 0, которым, быть может, предшествует блок единиц. Выражение (01*01*), очевидно задает один такой блок, а его итерация - произвольную последовательность таких блоков.

Пример 5.6. Построим теперь регулярное выражение, представляющее язык L0ч1ч, который состоит из всех слов в алфавите {0, 1}, содержащих четное число нулей и четное число единиц.

Пусть w=w1w2 … wn - произвольное слово из L0ч1ч. Тогда, разумеется, n - четно, пусть n=2k. Разобьем w на пары соседних букв pi =w2i-1w2i, i= 1,2,… ,k. Возможны 4 вида таких пар: 00, 11, 01 и 10. Пар вида 00 и 11 может быть сколько угодно, а пар вида 01 и 10 обязательно четное число. Поэтому w разбивается на блоки, каждый из которых начинается одной из пар 01 или 10 и содержит еще одну такую пару. Каждый такой блок описывается выражением (01 +10)(00 + 11)*(01+10)(00 + 11)*. При этом перед первым блоком может быть префикс, состоящий из пар 00 и 11. Множество слов состоящих из пар 00 и 11 задается выражением (00 +11)*. Отсюда получаем выражение R0ч1ч, задающее язык L0ч1ч:




Содержание раздела

---

---